Question

доведіть , що значення виразу (1+2p)2-p(4p-7)-12длятбудь якого цілого значення p ділиться на 11 помогите срлчно​

Answer 1

(1+2p)²-p(4p-7)-12=1+4р+4р²-4р²+7р-12=11р-11=11*(р-1) делится нацело на 11, т.е. один из множителей, а именно 11, делится на 11

Ответ Доказано.

Answer 2

Щоб перевірити, чи вираз \( (1 + 2p)^2 - p(4p - 7) - 12 \) ділиться на 11 для будь-якого цілого значення \( p \), використаємо властивості арифметики та алгебри.

1. Розглянемо вираз під дужками \( (1 + 2p)^2 \). Розкриємо його:

\[ (1 + 2p)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 2p + (2p)^2 = 1 + 4p + 4p^2 \]

2. Тепер візьмемо другий доданок \( - p(4p - 7) \):

Розкриємо дужки:

\[ - p(4p - 7) = -4p^2 + 7p \]

3. Тепер підставимо отримані вирази в початковий вираз \( (1 + 2p)^2 - p(4p - 7) - 12 \):

\[ (1 + 2p)^2 - p(4p - 7) - 12 = (1 + 4p + 4p^2) - (-4p^2 + 7p) - 12 \]

Спростимо це вираження:

\[ = 1 + 4p + 4p^2 + 4p^2 - 7p - 12 = 8p^2 - 3p - 11 \]

4. Тепер розглянемо отриманий квадратичний тричлен \( 8p^2 - 3p - 11 \).

Застосуємо теорему про залишок при діленні квадратичного тричлена на \( x - a \), де \( a \) - це ціле число. Якщо тричлен ділиться на \( x - a \), то залишок дорівнює 0.

Застосуємо це до \( 8p^2 - 3p - 11 \) і \( x - a = 11 \). Тобто, ділимо \( 8p^2 - 3p - 11 \) на \( 11 \):

\[ \frac{8p^2 - 3p - 11}{11} \]

Якщо залишок цього ділення дорівнює 0, то вираз \( (1 + 2p)^2 - p(4p - 7) - 12 \) ділиться на 11 для будь-якого цілого значення \( p \).

5. Розглянемо вираз \( \frac{8p^2 - 3p - 11}{11} \):

Розкриємо чисельник:

\[ \frac{8p^2 - 3p - 11}{11} = \frac{8p^2}{11} - \frac{3p}{11} - \frac{11}{11} \]

Залишок в даному виразі буде \( -\frac{3p}{11} \).

Отже, залишок не дорівнює 0, і вираз \( (1 + 2p)^2 - p(4p - 7) - 12 \) не завжди ділиться на 11 для будь-якого цілого значення \( p \).

Отже, вираз не завжди ділиться на 11.