Question

Определи область значений функции y=8cosx−3.

Answer 1

$y= 8\cos x-3$

Зная, что функция косинуса дает значения из отрезка от -1 до 1, проведем оценку выражения $8\cos x-3$.

$-1\leqslant \cos x\leqslant 1$

$8\cdot(-1)\leqslant 8\cdot\cos x\leqslant8\cdot 1$

$-8\leqslant 8\cos x\leqslant8$

$-8-3\leqslant 8\cos x-3\leqslant8-3$

$-11\leqslant 8\cos x-3\leqslant5$

Таким образом, область значений заданной функции - отрезок от -11 до 5.

Ответ: $E(y)=[-11;\ 5]$

Answer 2

Чтобы определить область значений функции \(y = 8\cos(x) - 3\), давайте рассмотрим, какие значения может принимать косинус и как это влияет на общую функцию.

Функция \(\cos(x)\) принимает значения в пределах от -1 до 1. Поскольку \(8\cos(x)\) умножает косинус на 8, то она будет принимать значения в диапазоне от -8 до 8. Если мы отнимаем 3 от этого выражения, то общая функция будет принимать значения в диапазоне от -8 - 3 = -11 до 8 - 3 = 5.

Таким образом, область значений функции \(y = 8\cos(x) - 3\) — это все вещественные числа от -11 до 5 включительно.

Математически это можно записать следующим образом: \[ -11 \leq y \leq 5 \]

Таким образом, любое значение \(y\), которое попадает в этот интервал, может быть значением функции при некотором \(x\).