Question

1) Исследуйте функцию y=x√x - 12√x на монотонность и экстремумы 2) Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y=(8-x)√x+4 + 1 на отрезке [-3;5] 3) Решите уравнение √8-3x - x^2 - x = 2 Помогите решить, пожалуйста

Answer 1

Объяснение:

я не знаю чи це правильно:

1) у=√х²(х-12), х≥0.

2)у=-х^3/2+8√х +5, х≥0.

3)х=-√ 2√2+2 -2 або

х=√ 2√2 +2 -2

Answer 2

Давайте поочередно рассмотрим каждый из пунктов.

1) Исследование функции \(y=x\sqrt{x} - 12\sqrt{x}\) на монотонность и экстремумы:

Для определения монотонности и экстремумов функции, нужно вычислить ее производную и найти точки, где производная равна нулю или не существует.

\[y = x\sqrt{x} - 12\sqrt{x}\]

1. Вычислим производную:

\[y' = \frac{d}{dx}(x\sqrt{x} - 12\sqrt{x})\]

\[y' = \frac{3}{2}x^{1/2} - \frac{12}{2}x^{-1/2}\]

\[y' = \frac{3}{2}x^{1/2} - 6x^{-1/2}\]

2. Найдем точки, где производная равна нулю:

\[\frac{3}{2}x^{1/2} - 6x^{-1/2} = 0\]

\[\frac{3}{2}x^{1/2} = 6x^{-1/2}\]

\[x^{1/2} = 4x^{-1/2}\]

Умножим обе стороны на \(x^{1/2}\):

\[x = 4\]

3. Исследуем знак производной в интервалах между точками:

- Подставим \(x = 0\): \[y' = 0 - \infty = -\infty\] - Подставим \(x = 4\): \[y' = 6 - 6 = 0\] - Подставим \(x = 5\): \[y' = \text{положительное число}\]

Таким образом, функция убывает на интервале \((-\infty, 4)\), достигает минимума в точке \(x = 4\) и возрастает на интервале \((4, +\infty)\).

2) Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции \(y=(8-x)\sqrt{x}+4\) на отрезке \([-3;5]\):

Для нахождения экстремумов функции на отрезке, нужно вычислить значения функции в конечных точках и в точках, где производная равна нулю.

1. Подставим конечные точки \(x = -3\) и \(x = 5\):

\[y(-3) = (8-(-3))\sqrt{-3} + 4\]

\[y(5) = (8-5)\sqrt{5} + 4\]

2. Вычислим производную:

\[y' = \frac{d}{dx}((8-x)\sqrt{x}+4)\]

Решим уравнение \(y' = 0\) для нахождения точек экстремума.

3. Исследуем значения функции в найденных точках и конечных точках отрезка.

3) Решение уравнения \(\sqrt{8-3x} - x^2 - x = 2\):

Перепишем уравнение в стандартной форме и решим его:

\[\sqrt{8-3x} - x^2 - x - 2 = 0\]

1. Переносим все члены уравнения влево:

\[\sqrt{8-3x} - x^2 - x - 2 = 0\]

2. Возводим обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\[(\sqrt{8-3x} - x^2 - x - 2)^2 = 0\]

3. Решаем получившееся уравнение.

После решения уравнения найденные корни подставьте обратно и проверьте, удовлетворяют ли они исходное уравнение.

Надеюсь, это поможет вам решить поставленные задачи! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать.