Question

На столе у учителя стопка из 100 самостоятельных. Часть из них оценена на 5, остальные на 2 (оценка видна на листе). Учитель выбирает 40 работ и отдает старосте. Староста произвольным образом берет из них 10 и возвращает учителю. Из этих 10 учитель выбирает 4. Если все эти работы окажутся, написаны на 5, то учитель будет счастлив. При каком наибольшем числе двоек учитель наверняка сможет сделать себя счастливым?

Answer 1

Так как учитель сам выбирает работы, то пусть все, не выбранные изначально работы, будут оценены на 2. Таким образом, работ на 2 уже имеется 100-40=60 штук.

Рассмотрим 40 работ, которые выбрал учитель и передал старосте. Так как староста выбирает 10 работ произвольным образом, то среди любых 10 работ должны находиться хотя бы 4, написанные на 5. Значит, максимальное количество работ на 2, которые могут попасть в выбор старосты, равно 10-4=6, а значит максимальное количество работ на 2, которые вообще могут попасть к старосте, также равно 6.

Итак, наибольшее количество двоек складывается из 60 двоек среди невыбранных работ и 6 двоек среди работ у старосты.

Значит, наибольшее количество двоек равно 60+6=66.

Ответ: 66

Answer 2

Давайте рассмотрим ситуацию пошагово.

1. У нас есть стопка из 100 самостоятельных работ. Из них часть оценена на 5, а остальные на 2.

2. Учитель выбирает 40 работ и отдает старосте.

3. Староста произвольным образом выбирает из них 10 и возвращает учителю.

4. Из этих 10 работ учитель выбирает 4.

Теперь давайте рассмотрим, как учитель может сделать себя счастливым (т.е., все 4 выбранные им работы должны быть оценены на 5).

Предположим, что учитель выбирает 4 работы, все из которых были оценены на 5. Таким образом, изначально в стопке из 100 работ у него должно быть не менее 4 работы оценены на 5.

Теперь рассмотрим, какие могут быть оценки оставшихся 36 работ в первоначальной стопке из 40, которые не попали в выбор учителя. Чтобы учитель был счастлив, все эти 36 работы должны быть оценены на 2, потому что если среди них есть хотя бы одна оцененная на 5, учитель не сможет гарантированно выбрать 4 работы оцененные на 5.

Таким образом, учитель может быть счастлив, если в исходной стопке из 100 работ как минимум 4 оценены на 5, а оставшиеся 36 оценены на 2.

Таким образом, наибольшее число двоек в исходной стопке, при котором учитель наверняка сможет сделать себя счастливым, составляет 36.