Question

Оооочень срочно! Ответ засчитаю как лучший! Доведіть що при будь-якому натуральному n виконується нерівність 1/n^2‹n-1/n.

Answer 1

Докажем что при n>1 неравенство выполняется
К примеру по мат индукции
При n=2 верно , тогда верно и для k=n+1
3^(n+1)>2(n+1)+1
3^n*3=3^n*2+3^n>2+(2n+2)
3^n>1
n>1

Answer 2

Давайте розглянемо нерівність 1/n^2 < n - 1/n для будь-якого натурального числа n.

Доведення:

Щоб довести цю нерівність, спочатку помножимо обидві частини на n^2, щоб позбавитися від знаменника:

n^2 * (1/n^2) < n^2 * (n - 1/n)

Скоротимо n^2 в першому добутку:

1 < n * (n - 1/n)

Розкриємо другий добуток:

1 < n^2 - 1

Перенесемо -1 на ліву сторону:

2 < n^2

Тепер доведено, що для будь-якого натурального числа n, нерівність 1/n^2 < n - 1/n є справедливою, оскільки 2 завжди менше за n^2.

Заключення:

Таким чином, для будь-якого натурального числа n, нерівність 1/n^2 < n - 1/n є правильною, оскільки 2 завжди менше за n^2.