Question

Сколько корней находится в отрезке x[0;π]​​ уравнения 6√2 sinxtgx-2√2 tgx+3sinx-1=0​

Answer 1

Ответ:

3

Объяснение:

$6 \sqrt{2} \sin(x) tg(x) \times - 2 \sqrt{2} tg(x) ) \\ + 3 \sin(x) - 1 = 0 \\ 2 \sqrt{2} tgx(3 sinx - 1) + 3sinx - 1 = 0 \\ (2 \sqrt{2} tgx + 1)(3 sinx - 1) = 0 \\ 2 \sqrt{2} tgx + 1 = 0 \\ 2 \sqrt{2} tgx = - 1 \\ tgx = - \frac{1}{2 \sqrt{2} } \\ tgx = - \frac{ \sqrt{2} }{4} \\ x = - arctg( \frac{ \sqrt{2} }{4} ) + \pi \: k$

$3 \sin(x) - 1 = 0 \\ 3 \sin(x) = 1 \\ \sin(x) = \frac{1}{3} \\ x = arcsin( \frac{1}{3} ) + 2\pi \: k$

Нам нужно определить количество корней которые относятся к х[0;Π] тоесть к первой и второй части круга

Из тангенса можно определить что он лежит н отрезках второй и четвертой части. входит 1 корень

Из синуса корни лежат на первом и втором. входят 2 корня

можно с этого сказать что ответ : 2+1=3

3 корня входят в отрезок [0;Π]

Возможно есть ошибки, если есть ответы и мой ответ не совпадает можете предупредить меня в комм

Answer 2

Для начала, рассмотрим уравнение 6√2sin(x)tg(x) - 2√2tg(x) + 3sin(x) - 1 = 0 и трансформируем его. Перенесем все слагаемые, не содержащие тангенс, на одну сторону уравнения:

6√2sin(x)tg(x) + 3sin(x) - 1 = 2√2tg(x)

Теперь заметим, что 6√2sin(x)tg(x) + 3sin(x) можно факторизовать:

3sin(x)(2√2tg(x) + 1)

Подставим это обратно в уравнение:

3sin(x)(2√2tg(x) + 1) - 1 = 2√2tg(x)

Раскроем скобки и упростим:

6√2sin(x)tg(x) + 3sin(x) - 1 = 2√2tg(x)

12√2sin(x)tg(x) + 6sin(x) - 2 = 4√2tg(x)

12√2sin(x)tg(x) - 4√2tg(x) + 6sin(x) - 2 = 0

Теперь приведем подобные слагаемые:

(12√2sin(x) - 4√2)tg(x) + 6sin(x) - 2 = 0

Заметим, что tg(x) = sin(x)/cos(x), поэтому:

(12√2sin(x) - 4√2)(sin(x)/cos(x)) + 6sin(x) - 2 = 0

Раскроем скобки:

(12√2sin^2(x) - 4√2sin(x)) / cos(x) + 6sin(x) - 2 = 0

Переместим одно из слагаемых на другую сторону уравнения:

(12√2sin^2(x) - 4√2sin(x)) / cos(x) = 2 - 6sin(x)

Поделим обе части на cos(x), учитывая, что для cos(x) ≠ 0:

12√2sin^2(x) - 4√2sin(x) = (2 - 6sin(x))cos(x)

Раскроем скобки:

12√2sin^2(x) - 4√2sin(x) = 2cos(x) - 6sin(x)cos(x)

Перенесем все слагаемые на одну сторону:

12√2sin^2(x) - 4√2sin(x) - 2cos(x) + 6sin(x)cos(x) = 0

Теперь можем заменить sin^2(x) на 1 - cos^2(x):

12√2(1 - cos^2(x))sin(x) - 4√2sin(x) - 2cos(x) + 6sin(x)cos(x) = 0

Раскроем скобки:

12√2sin(x) - 12√2cos^2(x)sin(x) - 4√2sin(x) - 2cos(x) + 6sin(x)cos(x) = 0

Добавим умноженные на sin(x) слагаемые:

12√2sin(x) - 12√2cos^2(x)sin(x) - 4√2sin(x) + 6sin^2(x)cos(x) - 2cos(x) = 0

Теперь группируем слагаемые:

(12√2 - 4√2 - 2)sin(x) - (12√2cos^2(x) - 6sin^2(x)cos(x)) = 0

6√2sin(x) - 12√2cos^2(x) + 6sin^2(x)cos(x) = 0

6√2sin(x) - 6√2cos^2(x) + 6sin^2(x)cos(x) = 0

6√2(sin(x) - cos^2(x) + sin^2(x)cos(x)) = 0

6√2(sin(x) - cos(x))(1 + sin(x)cos(x)) = 0

Теперь мы имеем две составляющих множителя, которые обнуляются независимо:

sin(x) - cos(x) = 0 (1)

1 + sin(x)cos(x) = 0 (2)

Решение уравнения (1):

sin(x) - cos(x) = 0

cos(x) = sin(x)

tg(x) = 1

x = π/4

Решение уравнения (2):

1 + sin(x)cos(x) = 0

sin(x)cos(x) = -1

tg(x) = -1

x = 3π/4

Таким образом, в отрезке [0, π] уравнение имеет два корня: x = π/4 и x = 3π/4.