Question

Докажите, что сумма кубов трёх последовательных целых чисел кратна 3​

Answer 1

для простоты вычисления

обозначим наши числа

х-1, х, х+1

(x-1)³+x³+(x+1)³=

=(x³-3x²+3x-1)+x³+ (x³+3x²+3x+1)=

=3х³+6х=3х(х²+2)

что и доказывает, что наша сумма кратна 3

Answer 2

Давайте предположим, что у нас есть три последовательных целых числа, обозначим их как \( n, n+1 \) и \( n+2 \), где \( n \) - любое целое число. Тогда кубы этих чисел будут равны:

\[ n^3, (n+1)^3, (n+2)^3 \]

Теперь давайте сложим эти кубы:

\[ n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3 \]

Для упрощения выражения раскроем кубы:

\[ n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3 = n^3 + (n+1)(n+1)(n+1) + (n+2)(n+2)(n+2) \]

Раскроем скобки:

\[ n^3 + (n+1)(n^2 + 2n + 1) + (n+2)(n^2 + 2n + 2) \]

Упростим:

\[ n^3 + n^3 + n^2 + 2n + 1 + n^3 + 2n^2 + 4n + 2 \]

Сложим все члены:

\[ 3n^3 + 3n^2 + 6n + 3 \]

Теперь вынесем общий множитель 3:

\[ 3(n^3 + n^2 + 2n + 1) \]

Мы видим, что это выражение является произведением 3 и целого числа \( (n^3 + n^2 + 2n + 1) \). Таким образом, сумма кубов трех последовательных целых чисел делится на 3 без остатка.