Question

2sinx/2=3cosx/2 Найти корни уравнений

Answer 1

Ответ:

Задано тригонометрическое однородное уравнение первого порядка . Решаем с помощью деления на функцию  $cos\dfrac{x}{2}\ne 0\ .$ Одновременно функции  cos(х/2) и sin(x/2) нулю равняться не могут .

$\displaystyle 2sin\frac{x}{2}=3\, cos\frac{x}{2}\ \Big|:cos\frac{x}{2}\ne 0\\\\2\, tg\frac{x}{2}=3\\\\tg\frac{x}{2}=1,5\\\\\frac{x}{2}=arctg1,5+\pi n\ ,\ n\in Z\\\\x=2\, arctg1,5+2\pi n\ ,\ n\in Z$

Answer 2

Дано уравнение: 2sin(x/2) = 3cos(x/2)

Перенесем все слагаемые на одну сторону: 2sin(x/2) - 3cos(x/2) = 0

Применим тригонометрическое тождество sin^2(x/2) + cos^2(x/2) = 1: (2sin(x/2) - 3cos(x/2))^2 = (2sin(x/2))^2 + (3cos(x/2))^2 - 2(2sin(x/2))(3cos(x/2))

Раскроем скобки и упростим: 4sin^2(x/2) - 12sin(x/2)cos(x/2) + 9cos^2(x/2) = 4sin^2(x/2) + 9cos^2(x/2) - 12sin(x/2)cos(x/2)

Упрощаем: - 12sin(x/2)cos(x/2) = 0

Из этого равенства следует, что либо sin(x/2) = 0, либо cos(x/2) = 0.

1. Если sin(x/2) = 0, то x/2 = nπ, где n - целое число. Тогда x = 2nπ.

2. Если cos(x/2) = 0, то x/2 = (2n + 1)π/2, где n - целое число. Тогда x = (2n + 1)π.

Итак, корни уравнения 2sin(x/2) = 3cos(x/2) равны x = 2nπ и x = (2n + 1)π, где n - целое число.