Question

Пусть f(x)=√1-2x.Вычислите f'(3/8)

Answer 1

$\displaystyle \\f(x)=\sqrt{1-2x} \\\\f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{1-2x} } \times(1-2x)'=\frac{1}{2\sqrt{1-2x} } \times(-2)=-\frac{1}{\sqrt{1-2x} }$

$\displaystyle f'(\frac{3}{8} )=-\frac{1}{\sqrt{1-2\times\frac{3}{8} } } =-\frac{1}{\frac{1}{2} } =-2$

Answer 2

Чтобы вычислить производную функции \( f(x) = \sqrt{1-2x} \), воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепного правила). Правило это гласит, что производная сложной функции \( g(f(x)) \) равна произведению производной внешней функции \( g'(f(x)) \) и производной внутренней функции \( f'(x) \).

Итак, у нас есть \( f(x) = \sqrt{1-2x} \), где внутренняя функция \( u(x) = 1-2x \), а внешняя функция \( g(u) = \sqrt{u} \).

1. Найдем производную внутренней функции \( u(x) \): \[ u'(x) = -2 \]

2. Теперь найдем производную внешней функции \( g(u) \): \[ g'(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \]

3. Теперь применим цепное правило: \[ f'(x) = g'(u) \cdot u'(x) \]

Подставим значения: \[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{1-2x}} \cdot (-2) \]

4. Упростим выражение: \[ f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-2x}} \]

Теперь у нас есть производная функции \( f(x) \). Чтобы найти значение производной в точке \( x = \frac{3}{8} \), подставим \( x = \frac{3}{8} \) в выражение для \( f'(x) \):

\[ f'\left(\frac{3}{8}\right) = -\frac{1}{\sqrt{1-2\left(\frac{3}{8}\right)}} \]

Раскроем скобки и упростим выражение:

\[ f'\left(\frac{3}{8}\right) = -\frac{1}{\sqrt{1-\frac{3}{4}}} \]

\[ f'\left(\frac{3}{8}\right) = -\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}}} \]

\[ f'\left(\frac{3}{8}\right) = -\frac{1}{\frac{1}{2}} \]

\[ f'\left(\frac{3}{8}\right) = -2 \]

Таким образом, \( f'\left(\frac{3}{8}\right) = -2 \).