Question

Найдите sinA и sin2a, если tga=-3 При условии, что п/2<а<п

Answer 1

Так как $\dfrac{\pi }{2}$, то угол $a$ принадлежит 2 четверти, где синус положителен, а косинус отрицателен.

По известному тангенсу сначала найдем косинус, а затем синус. Зная эти две величины, сможем найти и синус двойного угла.

$1+\mathrm{tg}^2\,a=\dfrac{1}{\cos^2a}$

$\cos^2a=\dfrac{1}{1+\mathrm{tg}^2\,a}$

$\cos a=-\sqrt{\dfrac{1}{1+\mathrm{tg}^2\,a} }$

$\cos a=-\sqrt{\dfrac{1}{1+(-3)^2} } =-\sqrt{\dfrac{1}{1+9} } =-\sqrt{\dfrac{1}{10} } =-\dfrac{1}{\sqrt{10} }$

$\sin^2a+\cos^2a=1$

$\sin^2a=1-\cos^2a$

$\sin a=\sqrt{1-\cos^2a}$

$\sin a=\sqrt{1-\left(-\dfrac{1 }{\sqrt{10}}\right)^2 }=\sqrt{1-\dfrac{1 }{10}}=\sqrt{\dfrac{9 }{10}}=\dfrac{3}{\sqrt{10} } =\dfrac{3\sqrt{10} }{10}$

$\sin2a=2\sin a\cos a$

$\sin2a=2\cdot\dfrac{3}{\sqrt{10} } \cdot\left(-\dfrac{1}{\sqrt{10} } \right)=-\dfrac{2\cdot3}{\sqrt{10} \cdot\sqrt{10} }=-\dfrac{6}{10} =-\dfrac{3}{5}$

Ответ: $\sin a=\dfrac{3\sqrt{10} }{10};\ \sin2a=-\dfrac{3}{5}$

Answer 2

Я могу помочь вам решить эту задачу по тригонометрии.

Дано: tga = -3, п/2 < a < п

Найти: sinA и sin2a

Решение:

1. Из условия следует, что угол A лежит во второй четверти, где синус положителен, а косинус и тангенс отрицательны. 2. Используя формулу тангенса, можно найти косинус угла A:

tga = sina / cosa

cosa = sina / tga

cosa = -sina / 3

3. Используя теорему Пифагора для тригонометрического круга, можно найти синус угла A:

sina^2 + cosa^2 = 1

sina^2 + (-sina / 3)^2 = 1

sina^2 + sina^2 / 9 = 1

sina^2 (1 + 1/9) = 1

sina^2 = 1 / (1 + 1/9)

sina^2 = 9 / 10

sina = +-sqrt(9 / 10)

sina = +-3 / sqrt(10)

Так как синус угла A положителен, то выбираем положительный знак:

sina = 3 / sqrt(10)

4. Используя формулу двойного угла, можно найти синус угла 2A:

sin2a = 2sina * cosa

sin2a = 2 * (3 / sqrt(10)) * (-3 / sqrt(10) / 3)

sin2a = -6 / 10

sin2a = -3 / 5

Ответ: sinA = 3 / sqrt(10), sin2a = -3 / 5

Вы можете проверить свой ответ с помощью онлайн-калькулятора или посмотреть другие решения этой задачи . Надеюсь, это было полезно для вас.