Question

Решить показательное уравнение, 10 класс: 4*20^x-20*5^(x-1)+5*4^(x+1)-20=0

Answer 1

Ответ:

Объяснение:..............

Answer 2

Конечно, давайте решим данное показательное уравнение. Уравнение имеет вид:

\[4 \cdot 20^x - 20 \cdot 5^{(x-1)} + 5 \cdot 4^{(x+1)} - 20 = 0\]

Для упрощения решения разделим обе стороны уравнения на 5, чтобы упростить коэффициенты:

\[ \frac{1}{5} \cdot (4 \cdot 20^x - 20 \cdot 5^{(x-1)} + 5 \cdot 4^{(x+1)} - 20) = 0 \]

Раскроем скобки:

\[ \frac{1}{5} \cdot (4 \cdot 20^x - 20 \cdot 5^{(x-1)} + 5 \cdot 4^{(x+1)} - 20) = \frac{1}{5} \cdot (4 \cdot 20^x - 100 \cdot 5^{(x-1)} + 5 \cdot 4 \cdot 4^x - 20) \]

Теперь преобразуем выражение, учитывая, что \(20 = 4 \cdot 5\) и \(4 = 2^2\):

\[ \frac{1}{5} \cdot (4 \cdot (4 \cdot 5)^x - 100 \cdot 5^{(x-1)} + 5 \cdot 4 \cdot 4^x - 20) = \frac{1}{5} \cdot (4 \cdot 4^x \cdot 5^x - 100 \cdot 5^{(x-1)} + 5 \cdot 2^2 \cdot 4^x - 20) \]

Теперь объединим подобные слагаемые:

\[ \frac{1}{5} \cdot (4 \cdot 4^x \cdot 5^x - 100 \cdot 5^{(x-1)} + 5 \cdot 2^2 \cdot 4^x - 20) = \frac{1}{5} \cdot (4 \cdot 4^x \cdot 5^x + 5 \cdot 2^2 \cdot 4^x - 100 \cdot 5^{(x-1)} - 20) \]

Теперь мы можем провести замену переменной, например, \(y = 4^x\), и уравнение примет вид:

\[ \frac{1}{5} \cdot (4y \cdot 5^x + 5 \cdot 2^2 \cdot y - 100 \cdot 5^{(x-1)} - 20) = 0 \]

\[ \frac{1}{5} \cdot (4y \cdot 5^x + 20y - 100 \cdot 5^{(x-1)} - 20) = 0 \]

Теперь вынесем общий множитель \(y\) за скобки:

\[ \frac{1}{5} \cdot y \cdot (4 \cdot 5^x + 20) - 20 \cdot (\frac{1}{5} \cdot 5^{(x-1)} + 1) = 0 \]

\[ y \cdot (4 \cdot 5^x + 20) - 100 \cdot (5^{(x-1)} + 5) = 0 \]

Теперь вернемся к исходной переменной \(x\) с учетом того, что \(y = 4^x\):

\[ 4^x \cdot (4 \cdot 5^x + 20) - 100 \cdot (5^{(x-1)} + 5) = 0 \]

Теперь у нас есть уравнение вида \(a \cdot b = 0\), которое равносильно условию \(a = 0\) или \(b = 0\). Следовательно, мы можем записать два уравнения:

\[4^x = 0 \]

и

\[4 \cdot 5^x + 20 - 100 \cdot (5^{(x-1)} + 5) = 0 \]

Уравнение \(4^x = 0\) не имеет решений в действительных числах, так как ни одна степень 4 не может быть равной 0.

Теперь рассмотрим второе уравнение:

\[4 \cdot 5^x + 20 - 100 \cdot (5^{(x-1)} + 5) = 0 \]

Раскроем скобки:

\[4 \cdot 5^x + 20 - 100 \cdot 5^{(x-1)} - 500 = 0 \]

Переносим все члены, не содержащие \(x\), на правую сторону:

\[4 \cdot 5^x - 100 \cdot 5^{(x-1)} = 480 \]

Теперь у нас есть уравнение, которое можно решить. Мы также можем преобразовать его, учитывая, что \(5^{(x-1)} = \frac{5^x}{5}\):

\[4 \cdot 5^x - 100 \cdot \frac{5^x}{5} = 480 \]

\[4 \cdot 5^x - 20 \cdot 5^x = 480 \]

\[5^x(4 - 20) = 480 \]

\[-16 \cdot 5^x = 480 \]

Теперь делим обе стороны на \(-16\):

\[5^x = -30 \]

Это уравнение не имеет решений в действительных числах, так как никакая степень 5 не может быть отрицательной.

Итак, исходное уравнение \(4 \cdot 20^x - 20 \cdot 5^{(x-1)} + 5 \cdot 4^{(x+1)} - 20 = 0\) не имеет решений в действительных числах.