Question

1. Решить биквадратное уравнение x⁴−4x²+11=0 ​

Answer 1

x⁴−4x²+11=0

t²-4t+11=0

уравнения не имеет решения, потому что t²-4t+11=0

не имеет решения на действительных чисел

Х Є(×) R

Answer 2

Для решения биквадратного уравнения \(x^4 - 4x^2 + 11 = 0\), давайте введем замену. Положим \(y = x^2\), тогда уравнение примет вид \(y^2 - 4y + 11 = 0\). Теперь мы можем решить это квадратное уравнение относительно \(y\).

Дискриминант квадратного уравнения \(ay^2 + by + c = 0\) равен \(D = b^2 - 4ac\), где \(a\), \(b\), и \(c\) - коэффициенты уравнения.

В нашем случае: \[a = 1, \quad b = -4, \quad c = 11.\]

Вычислим дискриминант: \[D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 16 - 44 = -28.\]

Поскольку дискриминант отрицательный (\(D < 0\)), у уравнения два комплексных корня.

Для решения квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом, используем формулы Виета: \[y_1, y_2 = \frac{-b \pm i\sqrt{-D}}{2a}.\]

Подставим значения: \[y_1, y_2 = \frac{4 \pm i\sqrt{28}}{2} = 2 \pm i\sqrt{7}.\]

Теперь вернемся к замене \(y = x^2\): \[x^2 = 2 \pm i\sqrt{7}.\]

Извлекая корень, получаем два набора решений: \[x_1 = \sqrt{2 \pm i\sqrt{7}}, \quad x_2 = -\sqrt{2 \pm i\sqrt{7}}.\]

Таким образом, уравнение \(x^4 - 4x^2 + 11 = 0\) имеет четыре комплексных корня, представленных выражениями \(x_1, x_2\).