Question

Доведіть, що вираз набуває лише від’ємних значень:-х²+10х-27

Answer 1

Припустимо, що це функція:

y = -x^2 + 10x - 27

Тоді:

у' = -2x + 10

у'' = -2 < 0 => у функції є лише один екстремум, і це максимум.

Знайдемо цей максимум:

-2х + 10 = 0

2x = 10

х = 5 - максимального значення функція набуває у точці з абцисою 5.

y(5) = -25 + 50 -27 = -2 < 0, тобто єдине максимальне значення функції менше за 0 => усі значення функції менші за нуль

Answer 2

Щоб довести, що вираз набуває лише від'ємних значень, ми можемо скористатися квадратним тричленом вигляду ax² + bx + c. В даному випадку, ми маємо вираз -х² + 10х - 27, що відповідає цьому вигляду.

Розкладання на множники

Щоб з'ясувати, коли цей вираз набуває від'ємних значень, ми можемо спробувати розкласти його на множники. Використовуючи метод розкладання на множники, ми шукаємо два числа, які множаться, щоб дорівнювати коефіцієнту a (у нашому випадку a = -1) і сума цих чисел дорівнює коефіцієнту b (у нашому випадку b = 10).

У нашому виразі -х² + 10х - 27, ми маємо: a = -1 b = 10 c = -27

Ми шукаємо два числа, які множаться, щоб дорівнювати -1 і сума цих чисел дорівнює 10. Ці числа -3 і 13:

(-3) * (13) = -39 (-3) + (13) = 10

Тепер ми можемо розкласти наш вираз на множники:

-х² + 10х - 27 = -(х - 3)(х - 13)

Значення виразу

Тепер, коли ми розклали вираз на множники, ми можемо зрозуміти, коли він набуває від'ємних значень. Зауважте, що перший множник, -(х - 3), завжди буде негативним, оскільки він містить мінус перед змінною x. Другий множник, (х - 13), буде негативним, якщо x менше за 13.

Отже, вираз -х² + 10х - 27 набуває від'ємних значень, якщо x належить інтервалу (-∞, 3) об'єднаного з (13, +∞). В інших випадках, коли x належить інтервалу [3, 13], вираз набуває додатніх значень.

Це доведено математичними розрахунками та розкладанням на множники.