Question

Розв‘яжіть систему рівняння: x^2 - 3xy + 2y^2 = 3 x^2 + 4xy - 2y^2 = 1

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$\left\{\begin{array}{c}x^2-3xy+2y^2=3\\ x^2+4xy-2y^2=1\end{array}\right;$

Умножаем вторую строку на 3:

$3x^2+12xy-6y^2=3$

Если правые части равны, то можно приравнять левые:

$x^2-3xy+2y^2=3x^2+12xy-6y^2\\ 2x^2+15xy-8y^2=0,\;|\div\;y^2\\ 2\times\left(\dfrac{x}{y}\right)^2+15\times\dfrac{x}{y}-8=0$

Меняем дробь $x/y=t$:

$2t^2+15t-8=0\\ (t+8)(2t-1)=0$

$\left[\begin{array}{c}t=-8\\t=\dfrac{1}{2}\end{array}\right;$

Обратная замена:

$x=-8y$      /или/      $y=2x$

Подставим это в 1-ую строку системы:

Случай 1:

$64y^2+24y^2+2y^2=3,\;\Rightarrow\;30y^2=1,\;y=\pm\dfrac{\sqrt{30}}{30}$

Тогда первые две пары точек будут такие:

$\left(\dfrac{4\sqrt{30}}{15};-\dfrac{\sqrt{30}}{30}\right),\;\left(-\dfrac{4\sqrt{30}}{15};\dfrac{\sqrt{30}}{30}\right)$

Случай 2:

$x^2-6x^2+8x^2=3,\;\Rightarrow\;x=\pm1$

Тогда следующие две пары точек будут такие:

$\left(-1;-2\right),\;\left(1;2\right)$

Система уравнений решена!

Answer 2

Давайте розв'яжемо систему рівнянь: 1) x^2 - 3xy + 2y^2 = 3 2) x^2 + 4xy - 2y^2 = 1

Щоб розв'язати цю систему рівнянь, ми можемо застосувати метод елімінації змінних або метод підстановки. Давайте спробуємо метод елімінації змінних.

Крок 1: Перепишемо систему рівнянь

x^2 - 3xy + 2y^2 = 3 (1) x^2 + 4xy - 2y^2 = 1 (2)

Крок 2: Помножимо рівняння (1) на 2

2(x^2 - 3xy + 2y^2) = 2(3) 2x^2 - 6xy + 4y^2 = 6 (3)

Крок 3: Помножимо рівняння (2) на 3

3(x^2 + 4xy - 2y^2) = 3(1) 3x^2 + 12xy - 6y^2 = 3 (4)

Крок 4: Додамо рівняння (3) та (4)

(2x^2 - 6xy + 4y^2) + (3x^2 + 12xy - 6y^2) = 6 + 3 5x^2 + 6xy - 2y^2 = 9 (5)

Крок 5: Відняємо рівняння (2) від рівняння (5)

(5x^2 + 6xy - 2y^2) - (x^2 + 4xy - 2y^2) = 9 - 1 4x^2 + 2xy = 8

Крок 6: Факторизуємо ліву частину рівняння

2x(2x + y) = 8

Крок 7: Розглянемо два можливі випадки

Випадок 1: 2x = 0 Якщо 2x = 0, то x = 0. Підставимо це значення у рівняння (2):

(0)^2 + 4(0)y - 2y^2 = 1 -2y^2 = 1 Це рівняння не має розв'язків, оскільки -2y^2 не може бути рівним 1.

Випадок 2: 2x + y = 0 Якщо 2x + y = 0, то y = -2x. Підставимо це значення у рівняння (1):

x^2 - 3x(-2x) + 2(-2x)^2 = 3 x^2 + 6x^2 + 8x^2 = 3 15x^2 = 3 x^2 = 3/15 x^2 = 1/5 x = ±√(1/5)

Таким чином, ми отримали два значення x: x = √(1/5) та x = -√(1/5).

Підставимо ці значення у рівняння (2):

(√(1/5))^2 + 4(√(1/5))y - 2y^2 = 1 1/5 + 4√(1/5)y - 2y^2 = 1

(-√(1/5))^2 + 4(-√(1/5))y - 2y^2 = 1 1/5 - 4√(1/5)y - 2y^2 = 1

Ці рівняння можна спростити і розв'язати для y.

Отже, розв'язки системи рівнянь x^2 - 3xy + 2y^2 = 3 та x^2 + 4xy - 2y^2 = 1 є: x = √(1/5), y = (1 - √(1/5))/2 та x = -√(1/5), y = (1 + √(1/5))/2