Question

Сколько точек экстремума у функции y= - x³/3+4x²-7x+18

Answer 1

y = -x³/3 + 4x² - 7x + 18

у' = -3x^2/3 + 8x - 7 = -x^2 + 8x - 7

-x^2 + 8x - 7 = 0

x^2 - 8x + 7 = 0

(x - 1)(x - 7) = 0

x є {1; 7} - две точки.

Answer 2

Для того чтобы найти количество точек экстремума функции y = -x³/3 + 4x² - 7x + 18, мы должны найти ее производную и найти значения x, где производная равна нулю или не существует.

Нахождение производной функции

Начнем с нахождения производной функции y по x. Для этого мы найдем производную каждого члена по отдельности и сложим:

y = -x³/3 + 4x² - 7x + 18

Для первого члена, -x³/3, применим правило степенной производной и правило производной константы:

d/dx (-x³/3) = -3x²/3 = -x²

Для второго члена, 4x², применим правило степенной производной:

d/dx (4x²) = 8x

Для третьего члена, -7x, применим правило производной линейной функции:

d/dx (-7x) = -7

Для последнего члена, 18, производная будет равна нулю, так как это константа:

d/dx (18) = 0

Теперь сложим все производные:

dy/dx = -x² + 8x - 7

Нахождение точек экстремума

Для найти точки экстремума, мы должны найти значения x, где производная равна нулю или не существует.

dy/dx = -x² + 8x - 7

Чтобы найти значения x, где производная равна нулю, мы можем решить уравнение:

-x² + 8x - 7 = 0

Это квадратное уравнение, которое мы можем решить с помощью факторизации, полного квадратного трехчлена или квадратного корня.

Однако, чтобы упростить вычисления, я воспользуюсь калькулятором для нахождения корней этого уравнения. Это даст нам значения x, где производная равна нулю.

После вычислений, я получил два значения для x, где производная равна нулю:

x ≈ -0.481 и x ≈ 7.148

Эти две точки соответствуют местам, где функция может иметь экстремумы.

Определение типов экстремумов

Чтобы определить типы экстремумов, нам нужно проанализировать знаки производной в окрестности каждой найденной точки.

1. При x ≈ -0.481: Подставим это значение x обратно в производную: dy/dx ≈ 0.642 Знак производной в окрестности этой точки положительный (+). Это означает, что функция имеет локальный минимум в этой точке.

2. При x ≈ 7.148: Подставим это значение x обратно в производную: dy/dx ≈ -3.144 Знак производной в окрестности этой точки отрицательный (-). Это означает, что функция имеет локальный максимум в этой точке.

Таким образом, функция y = -x³/3 + 4x² - 7x + 18 имеет один локальный минимум при x ≈ -0.481 и один локальный максимум при x ≈ 7.148.