Question

Log4(5^x-4)*(5^x-1)=1

Answer 1

Ответ:log₅9

Объяснение:

log₄((5ˣ-4)*(5ˣ-1))=1

4=(5ˣ-4)*(5ˣ-1)

5²ˣ+4 -9*5ˣ-4=0

5²ˣ -9*5ˣ=0

5ˣ(5ˣ-9)=0

5ˣ≠0

(5ˣ-9)=0⇒х=log₅9

Answer 2

Давайте разберемся с уравнением:

\[ \log_4(5^x - 4) \cdot (5^x - 1) = 1 \]

Для начала, обратим внимание, что логарифм \(\log_4\) может быть переписан в виде эквивалентной экспоненты:

\[ \log_4 a = \frac{\ln a}{\ln 4} \]

Теперь давайте заменим логарифм в уравнении:

\[ \frac{\ln(5^x - 4)}{\ln 4} \cdot (5^x - 1) = 1 \]

Умножим обе стороны на \(\ln 4\), чтобы избавиться от дроби:

\[ \ln(5^x - 4) \cdot (5^x - 1) = \ln 4 \]

Теперь у нас есть произведение логарифма и выражения, и мы хотим избавиться от этого произведения. Для этого воспользуемся свойством логарифмов:

\[ \ln a \cdot \ln b = \ln (a^b) \]

Применяем это свойство:

\[ \ln((5^x - 4) \cdot (5^x - 1)) = \ln 4 \]

Теперь избавимся от логарифма, применив экспоненту к обеим сторонам уравнения:

\[ (5^x - 4) \cdot (5^x - 1) = e^{\ln 4} \]

Теперь можно упростить правую сторону:

\[ (5^x - 4) \cdot (5^x - 1) = 4 \]

Раскроем скобки и упростим:

\[ 5^{2x} - 5^x - 4 \cdot 5^x + 4 = 4 \]

\[ 5^{2x} - 9 \cdot 5^x + 4 = 4 \]

Теперь выразим это уравнение в виде квадратного уравнения, введя временную переменную, например, \(y = 5^x\):

\[ y^2 - 9y + 4 = 4 \]

\[ y^2 - 9y = 0 \]

\[ y(y - 9) = 0 \]

Отсюда получаем два возможных значения для \(y\):

\[ y = 0 \quad \text{или} \quad y = 9 \]

Теперь подставим обратно \(5^x\) вместо \(y\):

\[ 5^x = 0 \quad \text{или} \quad 5^x = 9 \]

Первое уравнение не имеет решения, так как \(5^x\) никогда не может быть равным нулю.

Для второго уравнения возможно решение. Возведем обе стороны в логарифм по основанию 5:

\[ x = \log_5 9 \]

Таким образом, уравнение имеет одно допустимое решение:

\[ x = \log_5 9 \]

Пожалуйста, учтите, что при решении уравнений с логарифмами нужно быть внимательным и проверять допустимость полученных решений.