Question

Разложите на множители 4a^2-(a^2+1)^2

Answer 1

Ответ:

${4a}^{2} - ( { {a}^{2} + 1) }^{2}$

$(2a - {a}^{2} - 1)(2a + {a}^{2} + 1)$

Answer 2

Чтобы разложить выражение на множители, мы должны сначала упростить его и затем применить соответствующие методы факторизации. Давайте начнем с упрощения данного выражения:

Выражение: 4a^2 - (a^2 + 1)^2

Сначала раскроем квадрат во втором слагаемом, используя формулу (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2:

4a^2 - (a^2 + 1)^2 = 4a^2 - (a^2 + 2a + 1) = 4a^2 - a^2 - 2a - 1

Теперь объединим подобные слагаемые:

4a^2 - a^2 - 2a - 1 = (4a^2 - a^2) - 2a - 1 = 3a^2 - 2a - 1

Теперь у нас есть упрощенное выражение 3a^2 - 2a - 1. Давайте продолжим с его факторизации.

Факторизация выражения 3a^2 - 2a - 1

К сожалению, данное выражение не факторизуется в целых числах. Однако, мы можем применить квадратное уравнение, чтобы найти его корни и разложить его на множители.

Уравнение 3a^2 - 2a - 1 = 0

Используя квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, где a = 3, b = -2 и c = -1, мы можем найти его корни.

Сначала вычислим дискриминант (D) по формуле D = b^2 - 4ac:

D = (-2)^2 - 4 * 3 * (-1) = 4 + 12 = 16

Так как дискриминант положительный, у нас есть два различных корня. Давайте найдем их, используя формулу корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √D) / (2a)

x1 = (-(-2) + √16) / (2 * 3) = (2 + 4) / 6 = 6 / 6 = 1

x2 = (-(-2) - √16) / (2 * 3) = (2 - 4) / 6 = -2 / 6 = -1/3

Теперь, когда у нас есть корни, мы можем разложить выражение на множители с использованием этих корней и исходного коэффициента перед a^2:

3a^2 - 2a - 1 = (a - 1)(a + 1/3)

Таким образом, исходное выражение 4a^2 - (a^2 + 1)^2 разлагается на множители как (a - 1)(a + 1/3).