Question

Помогите, пожалуйста Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) у=4-х^2, у=х+5, х=-1 и х=1; 6) у=х^3, у=8 и х=1; в) у=х^2+1 и у=7-х.

Answer 1

Объяснение:

a)

$y=4-x^2\ \ \ \ \ y=x+5\ \ \ \ x=-1\ \ \ \ x=1\ \ \ \ S=?\\S=\int\limits^1_{-1} {(x+5-(4-x^2))} \, dx=\int\limits^1_{-1} {(x+5-4+x^2)} \, dx=\int\limits^1_{-1} {(x^2+x+1)} \, dx =\\=(\frac{x^3}{3} +\frac{x^2}{2}+x)\ |_{-1}^1=\frac{1^3}{3} +\frac{1^2}{2}+1-(\frac{(-1)^3}{3}+\frac{(-1)^2}{2}-1)=\frac{1}{3} +\frac{1}{2} +1-(-\frac{1}{3} +\frac{1}{2}-1)=\\=\frac{1}{3} +\frac{1}{2}+1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+1=2\frac{2}{3} .$

Ответ: S≈2,66667 кв. ед.

б)

$y=x^3\ \ \ \ y=8\ \ \ \ \ x=1\ \ \ \ \ S=?\\x^3=8\ \ \ \ x^3=2^3\ \ \ \ x=2\ \ \ \ \Rightarrow\\S=\int\limits^2_1 {(8-x^3)} \, dx=(8x-\frac{x^4}{4} )\ |_1^2=8*2-\frac{2^4}{4} -(8*1-\frac{1^4}{4} )=16-\frac{16}{4} -(8-\frac{1}{4})=\\=16-4-8+\frac{1}{4}=4\frac{1}{4} .$

Ответ: S=4,25 кв. ед.

c)

$></p> <p><img src=$

Ответ: S≈20,83333 кв. ед.

Answer 2

Ответ:

Объяснение:строим график, выделяем фигуру, вычисляем интеграл

Answer 3

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, нужно найти точки пересечения этих линий и построить график. Затем площадь фигуры можно вычислить с помощью методов геометрии или интеграла, в зависимости от формы фигуры.

Решение для а)

Первая линия: у = 4 - х^2 Вторая линия: у = х + 5 Третья линия: х = -1 Четвертая линия: х = 1

Найдем точки пересечения этих линий. Подставим х = -1 во вторую линию: у = -1 + 5 = 4. Таким образом, точка пересечения для третьей и второй линий: (-1, 4).

Подставим х = 1 во вторую линию: у = 1 + 5 = 6. Таким образом, точка пересечения для четвертой и второй линий: (1, 6).

Теперь построим график: ``` import matplotlib.pyplot as plt

x = [-1, 1] y = [4, 6]

plt.plot(x, y) plt.xlabel('x') plt.ylabel('y') plt.title('График фигуры, ограниченной линиями у = 4 - х^2, у = х + 5, х = -1 и х = 1') plt.grid(True) plt.show() ``` 

Теперь, чтобы вычислить площадь фигуры, мы можем разделить ее на две части: треугольник и параболу.

Вычисление площади треугольника: Для этого нам нужно найти высоту и основание треугольника. Основание треугольника - это расстояние между точками пересечения (-1, 4) и (1, 6). Основание равно 2. Высота треугольника - это расстояние между основанием треугольника и кривой у = 4 - х^2. Для этого найдем у на точках основания треугольника: y1 = 4 - (-1)^2 = 3 y2 = 4 - (1)^2 = 3

Высота треугольника равна разности y2 и y1: h = 3 - 3 = 0.

Теперь можем вычислить площадь треугольника: S = (1/2) * основание * высота = (1/2) * 2 * 0 = 0.

Вычисление площади параболы: Парабола задана у = 4 - х^2. Для вычисления площади параболы нужно взять интеграл функции у в пределах от -1 до 1: S = ∫[от -1 до 1] (4 - х^2) dx = ∫[от -1 до 1] 4dx - ∫[от -1 до 1] х^2dx.

∫[от -1 до 1] 4dx равно 4 * (1 - (-1)) = 4 * 2 = 8.

∫[от -1 до 1] х^2dx равно (1/3) * х^3 |[от -1 до 1] = (1/3) * (1^3 - (-1)^3) = (1/3) * (1 - (-1)) = (1/3) * 2 = 2/3.

Теперь можем вычислить площадь параболы: S = 8 - 2/3 = 22/3.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями у = 4 - х^2, у = х + 5, х = -1 и х = 1, равна сумме площади треугольника и площади параболы: 0 + 22/3 = 22/3.

Решение для б)

Линия: у = х^3 Вторая линия: у = 8 Третья линия: х = 1

Найдем точку пересечения этих линий. Подставим х = 1 в первую линию: у = 1^3 = 1. Таким образом, точка пересечения для второй и первой линий: (1, 1).

Теперь построим график: ``` import matplotlib.pyplot as plt

x = [1] y = [1]

plt.plot(x, y, 'ro') plt.xlabel('x') plt.ylabel('y') plt.title('График фигуры, ограниченной линиями у = х^3, у = 8 и х = 1') plt.grid(True) plt.show() ``` 

Так как график фигуры представляет собой точку, площадь фигуры равна 0.

Решение для в)

Первая линия: у = х^2 + 1 Вторая линия: у = 7 - х

Найдем точки пересечения этих линий. Подставим у = х^2 + 1 во вторую линию: х^2 + 1 = 7 - х. Перенесем все в левую часть уравнения: х^2 + х - 6 = 0. Решим это квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта: D = b^2 - 4ac. a = 1, b = 1, c = -6. D = 1^2 - 4 * 1 * -6 = 1 + 24 = 25. D > 0, поэтому у нас есть два корня.

Найдем корни уравнения: х = (-b ± √D) / 2a. х1 = (-1 + √25) / 2 = (4 + 5) / 2 = 9 / 2 = 4.5. х2 = (-1 - √25) / 2 = (4 - 5) / 2 = -1 / 2 = -0.5.

Таким образом, точки пересечения для первой и второй линий: (4.5, 2.5) и (-0.5, 6.5).

Теперь построим график: ``` import matplotlib.pyplot as plt

x = [-0.5, 4.5] y = [6.5, 2.5]

plt.plot(x, y) plt.xlabel('x') plt.ylabel('y') plt.title('График фигуры, ограниченной линиями у = х^2 + 1 и у = 7 - х') plt.grid(True) plt.show() ``` 

Теперь, чтобы вычислить площадь фигуры, мы можем разделить ее на две части: треугольник и параболу.

Вычисление площади треугольника: Для этого нам нужно найти высоту и основание треугольника. Основание треугольника - это расстояние между точками пересечения (-0.5, 6.5) и (4.5, 2.5). Ос