Question

Даю 100 баллов Трикутник ABC задано координатами його вершин: А(3; 5), В(4; 6), С(5; 5). Знайдіть внутрішній кут при вершині А.

Answer 1

найдем координаты векторов АВ и АС, выходящих из вершины А, от координат конца вычтем координаты начала.  

→АВ(4-3; 6-5); →АВ(1; 1);  →АС(5-3; 5-5); →АВ(2; 0);  

найдем длины этих векторов. длина →АВ равна √(1²+1²)=√2; длина →АС равна √(2²+0²)=2;  

Найдем скалярное произведение этих же векторов. это сумма произведений соответствующих координат.  

→АВ*→АВ=1*2+1*0=2  

Разделим скалярное произведение векторов на произведение их модулей, найдя косинус угла между векторами.  

2/(2√2)=√2/2, значит. внутренний угол при вершине А равен 45°  

Ответ 45°

Answer 2

Для того чтобы найти внутрішній кут при вершині A трикутника ABC, можем скористатися властивістю векторів. Кут між двома векторами можна знайти за допомогою їхнього скалярного добутку та формули:

\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\| \cdot \|\mathbf{v}\|} \]

де \(\mathbf{u}\) та \(\mathbf{v}\) - це вектори, а \(\theta\) - кут між ними.

Координати векторів можна знайти віднімаючи координати початкової вершини від координат кінцевої:

\[\mathbf{u} = \overrightarrow{AB} = (4 - 3, 6 - 5) = (1, 1)\] \[\mathbf{v} = \overrightarrow{AC} = (5 - 3, 5 - 5) = (2, 0)\]

Тепер можна знайти скалярний добуток та обчислити косинус кута:

\[ \cos(\theta) = \frac{(1, 1) \cdot (2, 0)}{\sqrt{1^2 + 1^2} \cdot \sqrt{2^2 + 0^2}} \]

\[ \cos(\theta) = \frac{2}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{4}} = \frac{2}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2} \]

Тепер, щоб знайти сам кут, можемо використовувати обернену тригонометричну функцію:

\[ \theta = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) \]

Знаючи, що \(\arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}\) (60 градусів), ми отримуємо, що внутрішній кут при вершині A трикутника ABC дорівнює 60 градусів.