Question

Трикутник ABC задано координатами його вершин: А(3; 5), В(4; 6), С(5; 5). Знайдіть внутрішній кут при вершині А.

Answer 1

найдем координаты векторов АВ и АС, выходящих из вершины А, от координат конца вычтем координаты начала.

→АВ(4-3; 6-5); →АВ(1; 1);  →АС(5-3; 5-5); →АВ(2; 0);

найдем длины этих векторов. длина →АВ равна √(1²+1²)=√2; длина →АС равна √(2²+0²)=2;

Найдем скалярное произведение этих же векторов. это сумма произведений соответствующих координат.

→АВ*→АВ=1*2+1*0=2

Разделим скалярное произведение векторов на произведение их модулей, найдя косинус угла между векторами.

2/(2√2)=√2/2, значит. внутренний угол при вершине А равен 45°

Ответ 45°

Answer 2

Щоб знайти внутрішній кут при вершині А трикутника ABC, ми можемо скористатися теоремою косинусів. За цією теоремою, кут А між векторами AB і AC можна знайти за формулою:

cos(A) = (AB ⋅ AC) / (|AB| ⋅ |AC|),

де AB - вектор, що йдуть від вершини A до вершини B, AC - вектор, що йдуть від вершини A до вершини C, ⋅ - означає скалярний добуток, |AB| і |AC| - довжини векторів AB і AC відповідно.

Для початку, давайте знайдемо вектори AB і AC:

AB = B - A = (4 - 3, 6 - 5) = (1, 1), AC = C - A = (5 - 3, 5 - 5) = (2, 0).

Тепер знайдемо довжини цих векторів:

|AB| = √((1)^2 + (1)^2) = √2, |AC| = √((2)^2 + (0)^2) = 2.

Тепер ми можемо знайти скалярний добуток AB ⋅ AC:

AB ⋅ AC = (1)(2) + (1)(0) = 2.

Тепер підставимо значення в формулу теореми косинусів, щоб знайти cos(A):

cos(A) = (2) / (√2 ⋅ 2) = 2 / (2√2) = 1 / √2 = √2 / 2.

За допомогою тригонометричної таблиці або калькулятора, ми можемо знайти значення кута A, використовуючи обернену функцію косинуса (arccos):

A = arccos(√2 / 2) ≈ 45°.

Таким чином, внутрішній кут при вершині А трикутника ABC становить приблизно 45°.