Question

Найдите область значений функции у = х^2 – 4х – 7, где x е (-1; 5].​

Answer 1

Ответ:

Найдём координаты вершины параболы (график квадратичной функции), получим:

x = -b / (2 * a) = 4 / 2 = 2,

y(2) = 4 - 8 - 7 = -11.

Находим значения функции на концах заданного в условии промежутка, получим:

y(-1) = 1 + 4 - 7 = -2,

y(5) = 25 - 20 - 7 = -2.

Следовательно, область значений функции определяется промежутком [-11; -2].

Answer 2

Областью значений функции y = x^2 – 4x – 7, где x принадлежит интервалу (-1; 5], является множество всех возможных значений функции при подстановке x из данного интервала.

Для определения области значений данной функции, можно воспользоваться графиком функции или аналитическим методом.

Аналитический метод заключается в нахождении вершины параболы, которая задает функцию, и определении направления открытия параболы.

В данном случае, функция имеет вид параболы, открывающейся вверх, так как коэффициент при x^2 положительный (1 > 0). Вершина параболы определяется по формуле x = -b/2a, где a и b - коэффициенты при x^2 и x соответственно.

В нашем случае, a = 1 и b = -4, поэтому x = -(-4)/2*1 = 4/2 = 2. Значение y в вершине параболы можно найти, подставив x = 2 в уравнение функции: y = 2^2 – 4*2 – 7 = 4 – 8 – 7 = -11.

Таким образом, вершина параболы находится в точке (2, -11).

Областью значений функции y = x^2 – 4x – 7, где x принадлежит интервалу (-1; 5], является множество всех возможных значений y при подстановке x из данного интервала.

Поскольку парабола открывается вверх и ее вершина находится ниже оси x, то значение y будет наибольшим при x = 2. Подставив x = 2 в уравнение функции, получим: y = 2^2 – 4*2 – 7 = -11.

Таким образом, максимальное значение функции равно -11.

Областью значений функции y = x^2 – 4x – 7, где x принадлежит интервалу (-1; 5], является множество всех возможных значений y, которые могут быть представлены в виде y ≤ -11.

Таким образом, областью значений функции y = x^2 – 4x – 7, где x принадлежит интервалу (-1; 5], является множество всех чисел, меньших или равных -11.