Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=-x^2+x; y=0

Answer 1

y=-x²+x парабола ветви вниз , пересекает ох в точках х=0 , х=1;

y=0 ось ох .

Фигура какбы внутри параболы над осью ох.

$\displaystyle \int\limits^1_0 {(-x^{2} +x)} \, dx =(-\frac{x^{3} }{3} +\frac{x^{2} }{2} ) |^1_0=$ $\displaystyle (-\frac{1^{3} }{3} +\frac{1^{2} }{2} ) -(0)=\frac{1}{2} -\frac{1}{3} =\frac{1}{6}$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиком функции y = -x^2 + x и осью x, нам необходимо найти точки пересечения кривой с осью x и затем проинтегрировать функцию y по отрезку между этими точками.

Первым шагом найдем точки пересечения кривой с осью x. Для этого приравняем y к нулю:

0 = -x^2 + x

Теперь решим этое уравнение:

x^2 - x = 0

x(x - 1) = 0

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: x = 0 и x = 1.

Теперь мы можем записать интеграл, который вычисляет площадь под кривой:

S = ∫[a, b] f(x) dx,

где a и b - это значения x, соответствующие точкам пересечения кривой с осью x.

В нашем случае, a = 0 и b = 1. Функция f(x) = -x^2 + x.

Таким образом, площадь фигуры ограниченной графиком функции y = -x^2 + x и осью x равна:

S = ∫[0, 1] (-x^2 + x) dx.

Вычисление интеграла:

Для вычисления этого интеграла, мы можем воспользоваться формулой интегрирования функции второй степени.

∫ x^2 dx = (1/3) * x^3 + C,

где C - это постоянная интегрирования.

Теперь вычислим интеграл:

S = [-(1/3) * x^3 + (1/2) * x^2] [0, 1]

S = (-(1/3) * 1^3 + (1/2) * 1^2) - (-(1/3) * 0^3 + (1/2) * 0^2)

S = (-(1/3) + 1/2) - (0)

S = (-2/6 + 3/6) - (0)

S = 1/6

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = -x^2 + x и осью x, равна 1/6.