Question

Знайдіть знаменник геометричної прогресії, якщо S3 = 2; S6 = 56.​

Answer 1

$\displaystyle\bf\\S_{6} =56\\\\S_{3} =2\\\\\\\left \{ {{\frac{b_{1}\cdot(q^{6} -1) }{q-1} =56} \atop {\frac{b_{1} \cdot(q^{3} -1)}{q-1}=2 }} \right.\\\\\\:\left \{ {{\frac{b_{1}\cdot(q^{3} -1)(q^{3}+1) }{q-1} =56} \atop {\frac{b_{1} \cdot(q^{3} -1)}{q-1}=2 }} \right.\\------------\\q^{3} +1=28\\\\q^{3} =27\\\\q^{3} =3^{3} \\\\q=3\\\\Otvet:q=3$

Answer 2

Щоб знайти знаменник геометричної прогресії, нам потрібно використати інформацію про суми третього і шостого членів прогресії.

Давайте позначимо перший член прогресії як "a" і знаменник як "r". За визначенням геометричної прогресії, кожен наступний член прогресії можна отримати, помноживши попередній член на знаменник.

Ми знаємо, що S3 (сума третього члена) дорівнює 2 і S6 (сума шостого члена) дорівнює 56. За формулою суми геометричної прогресії, ми можемо записати:

S3 = a + ar + ar^2 = 2 S6 = a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + ar^5 = 56

Ми можемо використати ці дві рівняння, щоб знайти значення "a" і "r". Давайте розв'яжемо цю систему рівнянь.

Розв'язок:

Знайдемо значення "a" з першого рівняння:

a + ar + ar^2 = 2

Ми можемо факторизувати це рівняння, витягнувши "a" як спільний множник:

a(1 + r + r^2) = 2

Тепер поділимо обидві частини на (1 + r + r^2), щоб знайти значення "a":

a = 2 / (1 + r + r^2) [[1]]

Тепер підставимо це значення "a" в друге рівняння:

2 / (1 + r + r^2) + (2 / (1 + r + r^2)) * r + (2 / (1 + r + r^2)) * r^2 + (2 / (1 + r + r^2)) * r^3 + (2 / (1 + r + r^2)) * r^4 + (2 / (1 + r + r^2)) * r^5 = 56

Ми можемо спростити це рівняння, помноживши обидві частини на (1 + r + r^2):

2 + 2r + 2r^2 + 2r^3 + 2r^4 + 2r^5 = 56(1 + r + r^2)

2 + 2r + 2r^2 + 2r^3 + 2r^4 + 2r^5 = 56 + 56r + 56r^2

Тепер згрупуємо подібні члени:

2 + 2r + 2r^2 + 2r^3 + 2r^4 + 2r^5 - 56 - 56r - 56r^2 = 0

2r^5 + 2r^4 + (2 - 56r^2) + (2r - 56r) - 54 = 0

2r^5 + 2r^4 - 56r^2 + 2r - 56r - 54 = 0

Тепер ми маємо квадратне рівняння, яке ми можемо розв'язати для "r". Після знаходження значення "r", ми зможемо використати рівняння [[1]] для знаходження значення "a".

На жаль, я не можу розв'язати це рівняння без конкретних числових значень для "r" і "a". Якщо у вас є конкретні значення для "r" і "a", я можу допомогти вам знайти знаменник геометричної прогресії.