Question

Задание 1 Решите задачи, составив уравнения. а) Разница между двумя числами равна 34, а разница между квадратами равна 408. Найдите эти два числа. Задание 2 а) Докажите, что сумма двух последовательных натуральных чисел есть разность их квадратов

Answer 1

Ответ:

а)

$\left \{ {{x - y = 34} \atop { {x}^{2} - {y}^{2} = 408}} \right . \: = > \left \{ {{x = 34 + y} \atop { {x}^{2} - {y}^{2} = 408 }} \right .$

${(34 + y)}^{2} - {y}^{2} = 408 \\ 1156 + 68y + {y}^{2} - {y}^{2} = 408 \\ 68y = 408 - 1156 \\ 68y = - 748 \\ y = - 11$

$x = 34 + y \\ x = 34 + ( - 11) \\ x = 23$

x=23, y=-11

Задание 2.

Возьмем одно натуральное число, например 4 и последующее ему число 5.

4+5=9 (сумма равна 9)

5²-4²=25-16=9 (разность квадратов тоже 9)

А теперь формула:

Возьмем любое натуральное число n, следующее число будет n+1

$n + (n + 1) = 2n + 1$

Сумма равна 2n+1

${(n + 1)}^{2} - {n}^{2} = {n}^{2} + 2n + 1 - {n}^{2} = 2n + 1$

Теперь разность квадратов тоже 2n+1.

Значит, 2n+1=2n+1, отсюда следует

$n + (n + 1) = {(n + 1)}^{2} - {n}^{2}$

Answer 2

Решение задачи 1:

Давайте обозначим два числа, между которыми есть разница, как \(x\) и \(y\). Тогда у нас есть два уравнения:

1. Разница между двумя числами равна 34: \(x - y = 34\) 2. Разница между квадратами равна 408: \(x^2 - y^2 = 408\)

Мы можем воспользоваться факторизацией разности квадратов, чтобы переписать второе уравнение:

\[x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) = 408\]

Теперь мы можем заменить \(x - y\) на 34 во втором уравнении, чтобы найти \(x + y\):

\[34 \cdot (x + y) = 408\]

Отсюда получаем, что \(x + y = 12\).

Теперь у нас есть система уравнений:

\[ \begin{cases} x - y = 34 \\ x + y = 12 \end{cases} \]

Решая эту систему, мы можем найти значения \(x\) и \(y\).

Решение задачи 2:

Давайте обозначим два последовательных натуральных числа как \(n\) и \(n + 1\). Тогда сумма этих чисел будет \(n + (n + 1)\), а разность их квадратов будет \((n + 1)^2 - n^2\).

Докажем, что сумма двух последовательных натуральных чисел есть разность их квадратов:

\((n + 1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1\)

Итак, сумма двух последовательных натуральных чисел равна разности их квадратов, увеличенной на 1.