Question

Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии (bn), если разность пятого и третьего её членов равна 42, а разность пятого и четвертого членов равна 30.

Answer 1

Ответ:  

$S_5=82\dfrac{12}{25 } = 82,48$

Объяснение:

Дано :

b₅ - b₃ = 42

b₅ - a₄ = 30
                   
S₅ = ?

Воспользуемся формулой для нахождения n-го члена прогрессии

$\boldsymbol{\sf b_n =b_1\cdot q^{n-1}}$

Упростим

1) b₅ - b₃ = b₁q⁴ - b₁q²

2) b₅ - b₄ = b₁q⁴ - b₁q³

Составим систему

$\left \{ \begin {array}{l} b_1q^4-b_1q^2=42 \\\\ b_1q^4 -b_1q^3 =30\end{array} \Leftrightarrow \left \{ \begin {array}{l} b_1q^2(q^2-1)=42 \\\\ b_1q^3( q-1) =30\end{array}$


Первое уравнение системы разделим на второе

$\displaystyle \frac{b_1q^2(q^2-1)}{b_1q^3(q-1)}=\frac{42}{30} \\\\\\ \frac{(q+1)(q-1)}{q(q-1)}=\frac{7}{5} \\\\\\ \frac{q+1}{q}=\frac{7}{5 } ~~ ; ~~q\neq 0 \\\\\\ 5q+5=7q \\\\2q=5 \\\\ q=2,5$

$b_1q^4-b_1q^2=42 \\\\ b_1(q^4-q^2) =42 \\\\ b_1=\cfrac{42}{2,5^4-2,5^2} =\cfrac{32}{25}$

Формула для нахождения суммы n-x членов прогрессии

$\boldsymbol{\sf S_n =\dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1} }$

Найдем сумму первых пяти членов прогрессии

$S_5=\dfrac{\dfrac{32}{25} \cdot (2,5^5-1)}{2,5-1} =\dfrac{2062}{25}=82\dfrac{12}{25 }$

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится знание формулы для суммы первых n членов геометрической прогрессии. Формула для суммы первых n членов геометрической прогрессии выглядит следующим образом:

Sn = a * ((1 - r^n) / (1 - r))

где Sn - сумма первых n членов прогрессии, a - первый член прогрессии, r - знаменатель прогрессии.

В данной задаче нам даны разности между пятой и третьей членами (равная 42) и между пятой и четвертым членами (равная 30). Давайте воспользуемся этой информацией для нахождения значений первого члена (a) и знаменателя (r).

Нахождение первого члена (a):

Мы знаем, что разность между пятой и третьей членами равна 42. Обозначим третий член как b3 и пятый член как b5. Тогда мы можем записать следующее:

b5 - b3 = 42

Нахождение знаменателя (r):

Мы также знаем, что разность между пятым и четвертым членами равна 30. Обозначим четвертый член как b4. Тогда мы можем записать следующее:

b5 - b4 = 30

Решение системы уравнений:

Решим эту систему уравнений, чтобы найти значения первого члена (a) и знаменателя (r). Вычтем второе уравнение из первого:

(b5 - b3) - (b5 - b4) = 42 - 30

b4 - b3 = 12

Теперь у нас есть новое уравнение, которое связывает четвертый и третий члены прогрессии.

Так как геометрическая прогрессия определяется отношением между членами, мы можем записать:

b4 / b3 = r

Теперь мы имеем два уравнения:

b4 - b3 = 12

b4 / b3 = r

Решение уравнений:

Мы можем решить эту систему уравнений, подставив значение r в первое уравнение:

b4 - (b4 / r) = 12

После упрощения получим:

b4 * (1 - 1/r) = 12

b4 = 12 / (1 - 1/r)

Нахождение суммы первых пяти членов прогрессии:

Теперь, когда у нас есть значения первого члена (a) и знаменателя (r), мы можем использовать формулу для суммы первых пяти членов геометрической прогрессии:

S5 = a * ((1 - r^5) / (1 - r))

Подставим значения a и r, которые мы нашли, в эту формулу и вычислим сумму первых пяти членов геометрической прогрессии.