Question

Функцію задано формулою f(x) = sin 5x• cos3x —sin3x • cos5x1) Знайдіть нулі функції f(x).2) Знайдіть кількість нулів функції f(x) , які належать проміжку [0,π].

Answer 1

f(x) = sin 5x• cos3x —sin3x • cos5x

1) Знайдіть нулі функції f(x).

2) Знайдіть кількість нулів функції f(x) , які належать проміжку [0,π].

f(x) = sin 5x• cos3x —sin3x • cos5x=sin(5x-3x)=sin2x

sin2x=0

2x=Пk

x=Пk/2  {0; П/2; П} [0;П]

Answer 2

Знаходження нулів функції f(x)

Нулі функції f(x) - це значення аргументу x, при яких функція приймає значення 0. Для знаходження нулів функції f(x) = sin(5x) • cos(3x) - sin(3x) • cos(5x), необхідно розв'язати рівняння f(x) = 0.

Давайте розглянемо кожен доданок окремо:

1. sin(5x) • cos(3x) = 0 Цей доданок буде рівний нулю, коли один з множників буде рівний нулю: - sin(5x) = 0 Знайдемо значення x, при яких sin(5x) = 0: 5x = kπ, де k - ціле число x = kπ/5, де k - ціле число

- cos(3x) = 0 Знайдемо значення x, при яких cos(3x) = 0: 3x = (2k + 1)π/2, де k - ціле число x = (2k + 1)π/6, де k - ціле число

2. -sin(3x) • cos(5x) = 0 Цей доданок буде рівний нулю, коли один з множників буде рівний нулю: - sin(3x) = 0 Знайдемо значення x, при яких sin(3x) = 0: 3x = kπ, де k - ціле число x = kπ/3, де k - ціле число

- cos(5x) = 0 Знайдемо значення x, при яких cos(5x) = 0: 5x = (2k + 1)π/2, де k - ціле число x = (2k + 1)π/10, де k - ціле число

Отже, нулі функції f(x) = sin(5x) • cos(3x) - sin(3x) • cos(5x) будуть: x = kπ/5, де k - ціле число x = (2k + 1)π/6, де k - ціле число x = kπ/3, де k - ціле число x = (2k + 1)π/10, де k - ціле число

Кількість нулів функції f(x) на проміжку [0, π]

Щоб знайти кількість нулів функції f(x) на проміжку [0, π], необхідно перевірити значення функції на кінцях проміжку та всередині проміжку.

Зауважимо, що проміжок [0, π] включає в себе точки x = 0 та x = π. Підставимо ці значення в функцію f(x) = sin(5x) • cos(3x) - sin(3x) • cos(5x):

f(0) = sin(5•0) • cos(3•0) - sin(3•0) • cos(5•0) = 0 f(π) = sin(5•π) • cos(3•π) - sin(3•π) • cos(5•π) = 0

Отже, функція f(x) має нуль в точках x = 0 та x = π, які належать проміжку [0, π].

Залишається перевірити значення функції всередині проміжку [0, π]. Для цього можна розглянути інтервали між нулями функції, знайденими раніше. У нашому випадку це: - [0, π/5] - [π/5, π/3] - [π/3, (2π + π/5)/6] - [(2π + π/5)/6, (2π + π/3)/6] - [(2π + π/3)/6, (π + π/3)/3] - [(π + π/3)/3, (2π + π/10)/5] - [(2π + π/10)/5, (2π + π/3 + π/10)/5] - [(2π + π/3 + π/10)/5, (2π + π/3 + π/3)/3] - [(2π + π/3 + π/3)/3, π]

В кожному з цих інтервалів функція f(x) має по одному нулю. Отже, кількість нулів функції f(x) на проміжку [0, π] дорівнює 9.

До вилучення підсумків, нагадую, що розв'язання рівняння і знаходження кількості нулів функції вимагає використання алгебраїчних методів та формул. У даному випадку, функція f(x) складна, тому використання чисельних методів (таких як метод Ньютона або метод підрозділу) може бути більш ефективним для знаходження нулів та їх кількості.