Question

Дам 15 баллов!! Бак об'ємом 1 м³ заповнюється двома насосами одночасно. Перший насос перекачує за 1 год на 1 м3 води більше, ніж другий. Знайди час, за який кожен насос окремо зможе наповнити бак, якщо першому насосу потрiбно для цього на 5 хв менше, ніж другому.

Answer 1

Ответ:

20 хвилин,  30 хвилин

Объяснение:

Нехай перший насос за 1 годину наповнить х м³, тобто 1/х частину бака.

Другий насос наповнить за 1 годину  х-1 м³, тобто 1/(х-1) частину бака.

5 хвилин=1/12 год.

1/(х-1) - 1/х = 1/12

12х-12х+12-х²+х=0

х²-х-12=0

За теоремою Вієта х=-2 (не підходить) х=3.

Перший насос за 1 годину може наповнити 3 м³, другий 3-1=2 м³.

Весь бак перший насос наповнить за 1/3 год = 20 хв., другий за 1/2 години=30 хвилин.

Answer 2

Позначимо швидкість перекачування першого насосу як x м³/год, а швидкість перекачування другого насосу як (x - 1) м³/год.

За час t годин перший насос перекачує xt м³ води, а другий насос перекачує (x - 1)t м³ води.

За умовою задачі, перший насос перекачує на 5 хв менше, ніж другий. 5 хв = 5/60 год = 1/12 год. Тобто, t - 1/12 = t - 0.08333 год.

Також відомо, що об'єм бака 1 м³. Тому першим насосом заповнений бак за час t, а другим насосом заповнений бак за час (t - 0.08333).

Запишемо рівняння:

xt = 1, (1) (x - 1)(t - 0.08333) = 1. (2)

Розкриємо дужки в другому рівнянні:

xt - xt*0.08333 - t + 0.08333 = 1, xt - 0.08333xt - t + 0.08333 = 1, xt - 0.08333xt - t = 0.91667. (3)

Виразимо t з рівняння (1):

t = 1/x. (4)

Підставимо (4) в (3):

x(1/x) - 0.08333x(1/x) - 1/x = 0.91667, 1 - 0.08333 + 1/x = 0.91667, 0.91667 + 1/x = 1.08333, 1/x = 1.08333 - 0.91667, 1/x = 0.16667.

Тепер знайдемо значення x:

1/x = 0.16667, x = 1/0.16667, x ≈ 6.

Тепер підставимо значення x у (4), щоб знайти t:

t = 1/6, t ≈ 0.16667 год.

Отже, перший насос може наповнити бак самостійно протягом близько 0.16667 год (10 хв), а другий насос може наповнити бак самостійно протягом близько 0.08333 год (5 хв).