Question

Напишите уравнение касательной к графику функции f(x)=4ctgx проведенной через точку абсцисса равной pi/4

Answer 1

Объяснение:

$f(x)=4ctgx\ \ \ \ \ \ x_0=\frac{\pi }{4}\ \ \ \ \ \ y_k=?\\f(\frac{\pi }{4})=4*ctg\frac{\pi }{4}=4*1=4.\\ f'(x)=(4ctgx)'=-\frac{4}{sin^2x}\\ f'(\frac{\pi }{4} )=-\frac{4}{(sin\frac{\pi }{4})^2 }=-\frac{4}{(\frac{\sqrt{2} }{2})^2 } =-\frac{4}{\frac{1}{2} }=-8.\ \ \ \ \ \Rightarrow\\ y_k=4-8*(x-\frac{\pi }{4} )=4-8x+2\pi =-8x+2\pi +4.$

Ответ: yk=-8x+2π+4.

Answer 2

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции f(x) = 4ctgx, проведенной через точку с абсциссой x = π/4, мы должны определить производную функции и использовать ее для построения уравнения касательной.

Сначала найдем производную функции f(x). Используем правило дифференцирования для функции котангенса:

f'(x) = -4csc^2(x)

Теперь, чтобы найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке x = π/4, подставим x = π/4 в f'(x):

f'(π/4) = -4csc^2(π/4)

Так как csc(π/4) = 1/sin(π/4) = 1/√2, мы можем заменить его в уравнении:

f'(π/4) = -4(1/√2)^2 = -4/2 = -2

Таким образом, угловой коэффициент касательной равен -2.

Используя найденный угловой коэффициент и точку (π/4, f(π/4)), мы можем записать уравнение касательной в точке x = π/4 в виде:

y - f(π/4) = -2(x - π/4)

Заменяя f(π/4) на значение функции в точке x = π/4, получаем:

y - 4 = -2(x - π/4)

Исходя из этого, уравнение касательной к графику функции f(x) = 4ctgx, проведенной через точку x = π/4, записывается как:

y = -2x + 2π + 4