Question

Число a(a > 1) такое наименьшее натуральное, что при делении его и на 2017, и на 2018 в остатке будет 1. Найти остаток при делении числа а на 5.а)1 б)2 с)0 д)3Ребят , с хорошим и банальным объяснением, пожалуйста. ​

Answer 1

Ответ:

b) 2

Объяснение:

Число даёт остаток 1 при делении на 2017 — это значит, что оно почти делится на 2017, просто у него есть лишняя единичка. То есть число a можно представить, как a = 2017p + 1 (p — это какое-то натуральное число). То же самое можно сказать и про 2018: a = 2018q + 1 (опять же, q — натуральное число). Получаем:

a = 2017p + 1

a = 2018q + 1

Левые части равны, значит, правые тоже должны быть равны:

2017p + 1 = 2018q + 1

2017p = 2018q

Чтобы найти наименьшее a, необходимо найти либо наименьшее возможное p, либо наименьшее возможное q и подставить в одно из уравнений.

Левая часть последнего уравнения делится на 2017 (потому что там есть множитель 2017), значит, и правая тоже делится на 2017. Но 2018 не имеет общих множителей с 2017 (то есть взять какие-то общие части из 2017 и 2018 нельзя, так как НОД(2017, 2018) = 1 — НОД соседних чисел всегда равен 1). Тогда на 2017 будет делиться q, а наименьшее q, которое делится на 2017 — это само q = 2017 (вообще 0 тоже делится на 2017, но если взять q = 0, то a = 1, что не удовлетворяет условию). Получаем a = 2018q + 1 = 2018·2017 + 1.

В ответе нужно указать остаток от деления на 5. Вспомним признак делимости на 5: если число оканчивается на 5 или на 0, то оно делится на 5. Значит, если оно даёт какой-то остаток при делении на 5, появляются лишние "добавочки", и последняя цифра увеличится на этот остаток.

Проверим последнюю цифру числа a: __7·__8 + 1 = __6 + 1 = __7. Последняя цифра 7. Она отличается от 5 на 2, значит, и остаток тоже будет равен двум.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать китайскую теорему об остатках. Она утверждает, что если у нас есть система уравнений вида: x ≡ a1 (mod m1) x ≡ a2 (mod m2) ... x ≡ an (mod mn)

где ai и mi - некоторые числа, то существует решение x, которое удовлетворяет всем этим уравнениям, если все числа m1, m2, ..., mn взаимно простые (т.е. их наибольший общий делитель равен 1).

В данной задаче у нас есть два уравнения: a ≡ 1 (mod 2017) a ≡ 1 (mod 2018)

Мы хотим найти наименьшее натуральное число a, которое удовлетворяет этим уравнениям. В этом случае числа 2017 и 2018 не являются взаимно простыми, так как оба делятся на 2017. Поэтому мы не можем применить китайскую теорему об остатках напрямую.

Однако, мы можем найти общее решение этих уравнений, используя следующий подход. Поскольку a ≡ 1 (mod 2017), мы можем записать a в виде a = 2017k + 1, где k - некоторое целое число. Подставим это выражение для a во второе уравнение:

2017k + 1 ≡ 1 (mod 2018)

Упростим это уравнение, вычтя 1 из обеих частей:

2017k ≡ 0 (mod 2018)

Теперь мы видим, что a имеет вид a = 2017k + 1, где 2017k делится на 2018 без остатка. Это означает, что k должно быть кратно 2018.

Наименьшее положительное значение k, которое делится на 2018, равно самому числу 2018. То есть, мы можем взять k = 2018.

Теперь подставим это значение обратно в выражение для a:

a = 2017 * 2018 + 1 = 4065027

Таким образом, наименьшее натуральное число a, которое удовлетворяет условиям задачи, равно 4065027.

Теперь мы можем найти остаток при делении этого числа на 5. Для этого делим 4065027 на 5 и находим остаток:

4065027 % 5 = 2

Ответ: б) 2.