Question

Доведіть, що число 2^10+4^6-2^11 кратне числу 3

Answer 1

Ответ: т.к. после упрощения выражение примет вид 2¹⁰ · 3, которое кратно 3.

Объяснение:

2¹⁰ + 4⁶ - 2¹¹ = 2¹⁰ + (2²)⁶ - 2¹¹ = 2¹⁰ + 2¹² - 2¹¹ = 2¹⁰(1 + 2² - 2¹) = 2¹⁰(1 + 4 - 2) =

= 2¹⁰ · 3 - значит, данное число кратно 3.

Answer 2

Щоб довести, що число $2^{10} + 4^6 - 2^{11}$ є кратним числу 3, ми можемо скористатись властивістю модулю.

За визначенням, щоб число $a$ було кратним числу $b$, має виконуватися рівність $a \equiv 0 \pmod{b}$, що означає, що $a$ ділиться на $b$ без остачі.

Розглянемо кожен доданок окремо:

1. $2^{10}$ - це степінь числа 2, тобто $2^{10} = 1024$. Щоб перевірити, чи є це число кратним 3, ми можемо використати його залишок від ділення на 3: $1024 \mod 3 = 1$.

2. $4^6$ - це степінь числа 4, тобто $4^6 = 4096$. Його залишок від ділення на 3 також дорівнює 1: $4096 \mod 3 = 1$.

3. $2^{11}$ - це степінь числа 2, тобто $2^{11} = 2048$. Залишок від ділення на 3 для цього числа дорівнює 2: $2048 \mod 3 = 2$.

Тепер, зібравши всі доданки разом, отримаємо:

$2^{10} + 4^6 - 2^{11} = 1024 + 4096 - 2048 = 3072$.

Залишок від ділення на 3 для числа 3072 також дорівнює 0: $3072 \mod 3 = 0$.

Отже, ми довели, що число $2^{10} + 4^6 - 2^{11}$ є кратним числу 3.