Question

Через первую трубу можно наполнить бассейн на 5 ч быстрее,чем через вторую,а третья труба наполняет бассейн на 4 ч быстрее,Чем первая.За какое время можно наполнить бассейн через третью трубу если это время равно времени,за которое наполняют бассейн первая и вторая трубы вместе?(полное решение)

Answer 1

1)1/(х - 5) + 1/х = 1/(х - 9) 
x(x - 9) + (x - 5)(x - 9) = x(x - 5) 
x^2 - 9x + x^2 - 14x + 45 = x^2 - 5x 
x^2 - 18x + 45 = 0 
(x - 3)(x - 15) = 0 
x = 3 - не подходит, потому что тогда x - 5 < 0 
x = 15ч -наполнит вторая труба. 
2)15- 5 = 10ч-наполнит первая труба.
3)15-9= 6ч-наполнит третья труба.

Answer 2

Пусть время, за которое первая и вторая трубы наполняют бассейн вместе, равно $t$ часам. Тогда за один час первая труба наполняет $1/t$ часть бассейна, а вторая труба - $1/(t+5)$ часть бассейна. Обозначим за $x$ часть бассейна, которую наполнит третья труба за один час. Тогда:

• первая труба наполнит бассейн за $t-5$ часов, то есть за этот период наполнит $(t-5)\cdot(1/t)$ часть бассейна
• вторая труба наполнит бассейн за $t$ часов, то есть за этот период наполнит $t\cdot(1/(t+5))$ часть бассейна
• третья труба наполнит бассейн за $t-4$ часов, то есть за этот период наполнит $(t-4)\cdot x$ часть бассейна

Согласно условию, эти три количества равны друг другу. Поэтому получаем уравнение:

$(t-5)\cdot\frac{1}{t} + t\cdot\frac{1}{t+5} = (t-4)\cdot x$

Решаем это уравнение относительно $x$:

$(t-5)\cdot\frac{1}{t} + t\cdot\frac{1}{t+5} = (t-4)\cdot x$ $\frac{(t-5)(t+5)+t^2}{t(t+5)} = (t-4)\cdot x$ $\frac{t^2-25+t^2}{t(t+5)} = (t-4)\cdot x$ $\frac{2t^2-25}{t^2+5t} = (t-4)\cdot x$ $x = \frac{2t^2-25}{t(t^2+5t-20)}$

Теперь нужно найти такое значение $t$, чтобы $x$ было определено и было равно $1/(t+4)$. То есть:

$\frac{2t^2-25}{t(t^2+5t-20)} = \frac{1}{t+4}$

Перемножаем обе части на $t(t+4)$:

$(2t^2-25)(t+4) = t(t^2+5t-20)$

$2t^3 + 3t^2 - 56t - 100 = 0$

Можно заметить, что $t=5$ является корнем этого уравнения. Разделим его на $(t-5)$:

$2t^2 + 13t + 20 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$$$$