Question

1. при каких значениях х производная функции f(x)=x^5 равна 5? 2.решить уравнение f(x)=f '(x) если f(x)=(1-x)^2

Answer 1

Найдём производные функций и решим соответствующие уравнения.

1.

$f(x)=x^5\\f'(x)=5\cdot x^{5-1}=5x^4\\\\5x^4=5\;|\!:5;\;\; x^4=1\\\\\begin{bmatrix}x^2=1\\x^2=-1\;\varnothing \end{matrix}\qquad x=\pm 1$

Ответ: x = ±1.

2.

$f(x)=(1-x)^2\\f'(x)=2\cdot (1-x)^{2-1}\cdot (-1)=-2(1-x)\\(1-x)^2=-2(1-x)\\(1-x)(1-x+2)=0\\x=\{1;3\}$

Ответ: x = {1;3}.

Answer 2

1. Чтобы найти значения x, при которых производная функции f(x) = x^5 равна 5, мы можем приравнять производную к 5 и решить уравнение.

f'(x) = 5 5x^4 = 5

Делим обе части уравнения на 5:

x^4 = 1

Здесь мы имеем квадратное уравнение, которое можно решить различными способами. В данном случае, мы видим, что возможные решения будут x = 1 и x = -1.

2. Для решения уравнения f(x) = f'(x), где f(x) = (1 - x)^2, сначала найдем производную функции.

f(x) = (1 - x)^2 f'(x) = 2(1 - x)(-1)

Теперь приравняем f(x) и f'(x):

(1 - x)^2 = 2(1 - x)(-1)

Раскроем скобки:

(1 - x)(1 - x) = -2(1 - x)

Упростим:

1 - 2x + x^2 = -2 + 2x

Теперь приведем подобные слагаемые:

x^2 + 2x - 1 = 0

Это квадратное уравнение. Мы можем решить его, используя факторизацию, квадратное уравнение или другие методы. Результат будет зависеть от выбранного метода решения.