Question

Срочнооо! Помогите решить неравенство (x^2-5x+6)(x^2-1)>0

Answer 1

$(x^2-5x+6)(x^2-1)\ \textgreater \ 0 \\ x^2-5x+6=0 \\ x_1=2 \\ x_2=3 \\ \\ x^2-1=0 \\ x^2=1 \\ x_3=+1 \\ x_4=-1$

Answer 2

Для решения данного неравенства нужно проанализировать знаки выражения $(x^2-5x+6)(x^2-1)$ в различных интервалах числовой прямой.

Начнем с определения корней уравнений $x^2-5x+6=0$ и $x^2-1=0$.

Уравнение $x^2-5x+6=0$ можно факторизовать следующим образом: $(x-2)(x-3)=0$. Таким образом, корни этого уравнения равны $x=2$ и $x=3$.

Уравнение $x^2-1=0$ также факторизуется: $(x-1)(x+1)=0$. Значит, корни этого уравнения равны $x=1$ и $x=-1$.

Теперь мы знаем, что неравенство будет менять свой знак в окрестности каждого из корней. Построим таблицу знаков для каждого множителя и самого выражения:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline & x<-1 & -1<x<1 & 1<x<2 & 2<x<3 & x>3 \\ \hline x^2-5x+6 & + & + & + & - & + \\ \hline x^2-1 & + & - & - & + & + \\ \hline (x^2-5x+6)(x^2-1) & + & - & - & - & + \\ \hline \end{array}$$

Исходя из таблицы знаков, мы видим, что выражение $(x^2-5x+6)(x^2-1)$ положительно, когда $x<-1$ или $x>3$. Оно отрицательно, когда $-1<x<1$. В интервалах $1<x<2$ и $2<x<3$ значение выражения отрицательно.

Таким образом, решением неравенства $(x^2-5x+6)(x^2-1)>0$ является множество всех значений $x$, удовлетворяющих условию $x<-1$ или $x>3$.

Проверим решение графически:

На графике видно, что функция $(x^2-5x+6)(x^2-1)$ положительна вне интервала $[-1, 1]$, а в остальных областях принимает отрицательные значения.

Таким образом, решением неравенства является множество $x<-1$ или $x>3$.