Question

Вычислите интеграл от 0до П/4 * 2/cos^2x

Answer 1

$\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0 {\frac{1}{cos^2x} \, dx =tgx|_0^\frac{\pi}{4}=tg\frac{\pi}{4}-tg\, 0=1-0=1$

Answer 2

Чтобы вычислить данный интеграл, воспользуемся методом замены переменной.

Пусть u = tan(x), тогда du = sec^2(x) dx.

Когда x = 0, u = tan(0) = 0, а когда x = π/4, u = tan(π/4) = 1.

Используя эти значения, перепишем интеграл:

∫[0,π/4] 2/cos^2(x) dx = ∫[0,1] 2/(1 + u^2) du.

Теперь рассмотрим новый интеграл:

∫[0,1] 2/(1 + u^2) du.

Для его вычисления можем воспользоваться формулой арктангенса:

∫ 1/(1 + u^2) du = arctan(u) + C,

где C - постоянная интегрирования.

Теперь воспользуемся этой формулой, чтобы вычислить исходный интеграл:

∫[0,π/4] 2/cos^2(x) dx = ∫[0,1] 2/(1 + u^2) du = 2 * [arctan(u)]|[0,1] = 2 * (arctan(1) - arctan(0)).

Так как arctan(1) = π/4 и arctan(0) = 0, то:

2 * (arctan(1) - arctan(0)) = 2 * (π/4 - 0) = π/2.

Таким образом, интеграл от 0 до π/4 2/cos^2(x) dx равен π/2.