Question

Початкова фаза коливань точки х0=0, період коливань Т = 1 с. Знайти найближчі моменти часу, в які зміщення, швидкість та прискорення удвічі менші за їх амплітудні значення.​

Answer 1

За період одного коливання точка повернеться в своє початкове положення, тому знайдемо значення зміщення, швидкості та прискорення у дві точки відносно початку коливань (наприклад, через $\frac{1}{4}$ та $\frac{3}{4}$ періоду коливань) і порівняємо їх з амплітудними значеннями.

Амплітудне значення зміщення дорівнює початковій фазі і дорівнює нулю. Тому шукатимемо часи, коли:

$$|x(t)| < \frac{1}{2} |x(0)| = 0 $$

За законом руху гармонійного осцілятора, зміщення точки можна записати так:

$$x(t) = A \sin (\omega t + \phi),$$

де $A$ - амплітуда коливань, $\omega$ - циклічна частота ($\omega = 2 \pi /T$), $\phi$ - початкова фаза. За умовою задачі $x(0) = 0$ і $T = 1$, тому $x(t) = A \sin (2 \pi t + \phi)$.

Амплітудне значення швидкості можна знайти знаючи, що швидкість є похідною від зміщення:

$$v(t) = \frac{dx(t)}{dt} = \omega A \cos (\omega t + \phi).$$

Амплітудна швидкість дорівнює $\omega A$, тому шукатимемо часи, коли:

$$|v(t)| < \frac{1}{2} \omega A $$

Амплітудне значення прискорення можна знайти знаючи, що прискорення є похідною від швидкості:

$$a(t) = \frac{d^2x(t)}{dt^2} = -\omega^2 A \sin (\omega t + \phi).$$

Амплітудне прискорення дорівнює $\omega^2 A$, тому шукатимемо часи, коли:

$$|a(t)| < \frac{1}{2} \omega^2 A $$

Підставимо значення $\omega$ і $A$ і отримаємо:

$$|x(t)| < 0 $$

$$|v(t)| < \pi $$

$$|a(t)| < 2 \pi^2 $$

Оскільки зміщення точки коливається гармонійно, то значення зміщення, швидкості та прискорення є симетричними відносно середини періоду, тому шукатимемо значення у точках $\frac{1}{4}$ та $\frac{3}{4}$ періоду коливань.

Таким чином, найближчі моменти часу, в які зміщення, швидкість та прискорення удвічі менші за їх амплітудні значення будуть:

Зміщення:$$x\left(\frac{1}{4}\right) = A \sin \left(\frac{\pi}{2} + \phi\right) = A \cos \phi$$$$x\left(\frac{3}{4}\right)

Answer 2

Початкова фаза коливань

Початкова фаза коливань в даному випадку означає, що коливання починаються з точки рівноваги, де зміщення дорівнює нулю. Таким чином, в початковий момент часу х0 = 0.

Період коливань

Період коливань (Т) в даному випадку становить 1 секунду. Це означає, що повний цикл коливань займає 1 секунду.

Знаходження моментів часу, коли зміщення, швидкість та прискорення удвічі менші за їх амплітудні значення

Щоб знайти моменти часу, коли зміщення, швидкість та прискорення удвічі менші за їх амплітудні значення, ми можемо використати формули для гармонічних коливань.

1. Зміщення (x) в гармонічних коливаннях можна виразити як: x = A * sin(2πt / T + φ) де A - амплітуда коливань, t - час, T - період коливань, φ - фазовий кут.

2. Швидкість (v) в гармонічних коливаннях можна виразити як: v = (2πA / T) * cos(2πt / T + φ)

3. Прискорення (a) в гармонічних коливаннях можна виразити як: a = -(4π²A / T²) * sin(2πt / T + φ)

Ми хочемо знайти моменти часу, коли зміщення (x), швидкість (v) та прискорення (a) удвічі менші за їх амплітудні значення. Це означає, що:

1. |x| < A / 2 2. |v| < (2πA / T) / 2 3. |a| < (4π²A / T²) / 2

Застосуємо ці умови до формул для зміщення (x), швидкості (v) та прискорення (a) і знайдемо моменти часу, які задовольняють цим умовам.

Примітка: Застосовується формула для гармонічних коливань з амплітудою A = 600 і фазовим кутом φ = 0

Знаходження моментів часу, коли зміщення, швидкість та прискорення удвічі менші за їх амплітудні значення

1. Зміщення (x): За умовою |x| < A / 2, отримуємо: |A * sin(2πt / T + φ)| < A / 2 Розв'язавши це нерівність, отримуємо: -0.5 < sin(2πt / T + φ) < 0.5 Знайдемо моменти часу, коли ця нерівність виконується.

2. Швидкість (v): За умовою |v| < (2πA / T) / 2, отримуємо: |(2πA / T) * cos(2πt / T + φ)| < (2πA / T) / 2 Розв'язавши це нерівність, отримуємо: -π < cos(2πt / T + φ) < π Знайдемо моменти часу, коли ця нерівність виконується.

3. Прискорення (a): За умовою |a| < (4π²A / T²) / 2, отримуємо: |-(4π²A / T²) * sin(2πt / T + φ)| < (4π²A / T²) / 2 Розв'язавши це нерівність, отримуємо: -0.5 < sin(2πt / T + φ) < 0.5 Знайдемо моменти часу, коли ця нерівність виконується.

Застосувавши вищезазначені умови до формул для зміщення (x), швидкості (v) та прискорення (a), ми зможемо знайти найближчі моменти часу, в яких зміщення, швидкість та прискорення удвічі менші за їх амплітудні значення.

Примітка: Для точного знаходження моментів часу, можна використати числові методи, такі як метод Ньютона або метод дихотомії.