Question

Даю 50 балів. Паралельний пучок променів, падаючи на розсіювальну лінзу з діаметром 6 см, дає на екрані, що розміщений на відстані 10 см від лінзи, світле коло діаметром 11 см. Визначити фокусну відстань лінзи.

Answer 1

Для розв'язання цієї задачі скористаємося формулою лінзової системи:

\(\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}\),

де \(f\) - фокусна відстань лінзи, \(d_o\) - відстань від предмета до лінзи, \(d_i\) - відстань від лінзи до зображення на екрані.

Маємо дані: \(D_o = 6 см\) - діаметр пучка променів, \(D_i = 11 см\) - діаметр світлого кола, \(d_o = 10 см\) - відстань від лінзи до екрана.

За формулою \(D_i = 2 \cdot f \cdot \tan(\alpha)\), де \(\alpha\) - кут розсіювання, можна знайти кут розсіювання:

\(\alpha = \arctan \left(\frac{D_i}{2f}\right)\).

Знаючи кут розсіювання, можемо знайти відстань від предмета до лінзи \(d_o\):

\(d_o = f \cdot \tan(\alpha)\).

Підставимо дані:

\(d_o = f \cdot \tan\left(\arctan \left(\frac{D_i}{2f}\right)\right) \Rightarrow 10 = f \cdot \tan\left(\arctan \left(\frac{11}{2f}\right)\right)\).

Далі, розв'язавши це рівняння числовими методами або графічно, отримаємо значення фокусної відстані \(f\).

Наприклад, якщо числово розв'язати це рівняння, то можна скористатись методом Ньютона-Рафсона. Початкове значення f вибираємо, наприклад, f = 10 см. Після кількох ітерацій отримаємо значення f.

Таким чином, для визначення фокусної відстані лінзи потрібно використати рівняння \(10 = f \cdot \tan\left(\arctan \left(\frac{11}{2f}\right)\right)\) і розв'язати його числовими методами.