Question

Масса человека и горизонтальной платформа 100 кг. Платформа радиусом 1 м вращается с частотой 20 об/мин. В центре платформы стоит человек и держит в согнутых руках две гири массой по 2 кг на расстоянии 80 см друг от друга. С какой частотой будет вращаться платформа, если человек, поднимет одну руку с гирей вертикально вверх, расположив гирю на оси вращения, а вторую гирю отбросит ? Считать платформу однородным диском, а гири – материальными точками.

Answer 1

Ответ:

Дано:

m = 100 кг

n1 = 10 об/мин = 0,167 об/с

m0 = 60 кг

n2 -?

Решение:

Закон сохранения момента импульса

I1 – момент инерции платформы с человеком, стоящим на её краю,

I2 – момент инерции платформы с человеком, стоящим в центре

платформы, ϖ1 и ϖ2 – соответствующие угловые скорости.

Учитывая, что

найдём

Ответ: .

Дано:

m = 100 кг

n1 = 10 об/мин = 0,167 об/с

m0 = 60 кг

n2 -?

Решение:

Закон сохранения момента импульса

I1 – момент инерции платформы с человеком, стоящим на её краю,

I2 – момент инерции платформы с человеком, стоящим в центре

платформы, ϖ1 и ϖ2 – соответствующие угловые скорости.

Учитывая, что

найдём

Ответ: .

Answer 2

Для решения этой задачи оценим закон сохранения момента импульса. Момент импульса системы до и после действия человека должен оставаться постоянным.

До того, как человек поднимет одну гирю и отбросит другую, момент импульса системы выглядит следующим образом:

Исходный момент импульса (L0) = (масса платформы + масса человека) * радиус платформы * угловая скорость платформы

L0 = (100 кг + 2 кг) * 1 м * (20 об/мин * 2π рад/об * (1 мин/60 сек)) = 126.91 кг∙м^2/с

Теперь, когда человек поднимает одну гирю вертикально вверх и отбрасывает другую, масса системы остается неизменной, но распределение масс в системе меняется. Одинаковая масса двигается на более большом расстоянии (гиря в руке) и на более коротком расстоянии (гиря на платформе).

Для сохранения момента импульса после изменения конфигурации системы:

L1 = (масса платформы * радиус платформы * угловая скорость платформы) + (масса гири * расстояние гири от центра платформы * угловая скорость платформы) + (масса гири * радиус платформы * угловая скорость платформы)

После того как одна гиря поднята вертикально вверх и другая отброшена, расстояние одной из гирей от центра платформы становится равным нулю, так как она находится на оси вращения. Таким образом:

L1 = (100 кг * 1 м * 2π рад/об * (20 об/мин * 2π рад/об * (1 мин/60 сек))) + (2 кг * 0.8 м * 2π рад/об * (20 об/мин * 2π рад/об * (1 мин/60 сек))) + (2 кг * 1 м * 2π рад/об * (20 об/мин * 2π рад/об * (1 мин/60 сек)))

L1 ≈ 169.56 кг∙м^2/с

Теперь найдем новую угловую скорость платформы (ω1), используя новый момент импульса:

L1 = (масса платформы + масса человека) * радиус платформы * ω1

ω1 = L1 / ((100 кг + 2 кг) * 1 м) ≈ 1.694 рад/с

Теперь найдем частоту вращения платформы (f1) в оборотах в минуту:

f1 = ω1 / (2π рад/об) * (60 сек/мин) ≈ 16.98 об/мин

Таким образом, после того как человек поднимет одну гирю вертикально вверх и отбросит другую, частота вращения платформы составит примерно 16.98 оборотов в минуту.