Question

Диск радiуом R, що обертається навколо своєі‌ осi з кутовою швидкiстю ω, кинуто пiд кутом α до горизонту зi швидкiстю v0. Точка А на ободi описує в просторi деяку траєкторiю. Знаи‌ти радiус і‌і‌ кривизни ρ в момент наи‌бiльшого пiди‌ому, якщо точка А знаходиться при цьому над центром колеса (​

Answer 1

Для вирішення цього завдання використаємо закон збереження енергії та деякі властивості обертального руху.

Закон збереження енергії для обертального руху можна виразити так:

\[E = T + U,\]

де \(E\) - загальна енергія системи, \(T\) - кінетична енергія, \(U\) - потенціальна енергія.

Кінетична енергія обертального руху об'єкта залежить від його маси та кутової швидкості:

\[T = \frac{1}{2} I \omega^2,\]

де \(I\) - момент інерції об'єкта, \(\omega\) - кутова швидкість.

Потенціальна енергія при обертанні навколо осі визначається як:

\[U = mgh,\]

де \(m\) - маса об'єкта, \(g\) - прискорення вільного падіння, \(h\) - відстань від центру обертання до центра мас.

Момент інерції об'єкта, що обертається навколо осі, визначається як:

\[I = mr^2,\]

де \(r\) - радіус обертання.

Початкова кінетична енергія об'єкта при запуску визначається як:

\[T_0 = \frac{1}{2} I \omega_0^2,\]

де \(\omega_0\) - початкова кутова швидкість, яка може бути виражена через лінійну швидкість \(v_0\) та радіус обертання \(r\) за формулою \(\omega_0 = \frac{v_0}{r}\).

Також, кутова швидкість може бути виражена через лінійну швидкість і радіус за формулою \(\omega = \frac{v}{r}\).

Підставимо ці вирази в рівняння збереження енергії та врахуємо, що на початку потенціальна енергія дорівнює нулю:

\[\frac{1}{2} I \omega^2 + mgh = \frac{1}{2} I \omega_0^2.\]

Підставимо вирази для \(I\) та \(\omega\) і спростимо рівняння:

\[\frac{1}{2} mr^2 \left(\frac{v}{r}\right)^2 + mgh = \frac{1}{2} mr^2 \left(\frac{v_0}{r}\right)^2.\]

Спростимо далі:

\[\frac{1}{2} m v^2 + mgh = \frac{1}{2} m v_0^2.\]

Помножимо обидві сторони на 2 та поділімо на \(m\):

\[v^2 + 2gh = v_0^2.\]

З цього рівняння можна виразити лінійну швидкість \(v\):

\[v = \sqrt{v_0^2 - 2gh}.\]

На висоті \(h\), коли точка А знаходиться над центром колеса, кінетична енергія максимальна, і це відбувається в той момент, коли потенціальна енергія дорівнює нулю.

Тепер знайдемо радіус обертання. Якщо точка А рухається по колу, то лінійна швидкість пов'язана з кутовою швидкістю відношенням \(v = \omega r\). Підставимо це вираження в останнє рівняння:

\[\sqrt{v_0^2 - 2gh} = \omega r.\]

Розкладемо \(\omega\) за виразом \(\omega = \frac{v}{r}\):

\[\sqrt{v_0^2 - 2gh} = \frac{v}{r} r.\]

Спростимо:

\[\sqrt{v_0^2 - 2gh} = v.\]

Тепер ми можемо виразити лінійну швидкість \(v\) через вираз, який ми вже знаємо:

\[v = \sqrt{v_0^2 - 2gh}.\]

Підставимо це вираження в рівняння для кутової швидкості:

\[\omega = \frac{v}{r} = \frac{\sqrt{v_0^2 - 2gh}}{r}.\]

Тепер, знаючи кутову швидкість, можемо знайти радіус обертання:

\[\omega = \frac{v}{r} = \frac{\sqrt{v_0^2 - 2gh}}{r}.\]

Розкладемо \(\omega\) за виразом \(\omega = \frac{v}{r}\):

\[\frac{\sqrt{v_0^2 - 2gh}}{r} =