Question

Мотоцикліст проїхав відстань між двома селами зі швидкістю 40км/год потім збільшив швидкість до 80км/год і проїхав відстань вдвічі меншу. Знайти середню швидкість мотоцикліста. (З дано)

Answer 1

Для розв'язання цієї задачі використаємо формулу для середньої швидкості:

\[ \text{Середня швидкість} = \frac{\text{Загальна відстань}}{\text{Загальний час}} \]

Спочатку розглянемо перший етап подорожі мотоцикліста:

1. Перший етап (40 км/год): Нехай відстань між селами \(D_1\) і час на цьому етапі \(t_1\). Тоді:

\[ D_1 = 40 \cdot t_1 \]

Тепер перейдемо до другого етапу:

2. Другий етап (80 км/год): Нехай відстань на цьому етапі \(D_2\) і час \(t_2\). Згідно умови, відстань вдвічі менша:

\[ D_2 = \frac{1}{2} D_1 \]

\[ D_2 = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot t_1 \]

Тепер загальна відстань \(D\) між селами буде сумою відстаней на обох етапах:

\[ D = D_1 + D_2 \]

Підставимо значення \(D_1\) і \(D_2\):

\[ D = 40 \cdot t_1 + \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot t_1 \]

\[ D = 60 \cdot t_1 \]

Таким чином, загальна відстань \(D\) визначається як 60 разів час першого етапу.

Тепер визначимо загальний час подорожі \(t\), який є сумою часів обох етапів:

\[ t = t_1 + t_2 \]

Для першого етапу \(t_1\) можна виразити через відстань і швидкість:

\[ t_1 = \frac{D}{40} \]

Тепер підставимо це в рівняння для \(t\):

\[ t = \frac{D}{40} + t_2 \]

Таким чином, ми отримали вираз для загального часу подорожі \(t\) через відстань \(D\) і час другого етапу \(t_2\).

Тепер можемо визначити середню швидкість за формулою:

\[ \text{Середня швидкість} = \frac{D}{t} \]

Підставимо вираз для \(D\) і \(t\):

\[ \text{Середня швидкість} = \frac{60 \cdot t_1}{\frac{D}{40} + t_2} \]

Тепер підставимо вираз для \(t_1\) та використаємо вираз для \(D_2\):

\[ \text{Середня швидкість} = \frac{60 \cdot \frac{D}{40}}{\frac{D}{40} + t_2} \]

\[ \text{Середня швидкість} = \frac{90}{1 + \frac{t_2}{\frac{D}{40}}} \]

\[ \text{Середня швидкість} = \frac{90}{1 + \frac{t_2}{\frac{1}{60} \cdot t}} \]

Тепер виразимо \(t_2\) через відомі дані. На другому етапі швидкість мотоцикліста подвоїлася (80 км/год), тобто \(t_2 = \frac{D_2}{80}\). Підставимо вираз для \(D_2\):

\[ t_2 = \frac{\frac{1}{2} \cdot 40 \cdot t_1}{80} \]

\[ t_2 = \frac{1}{160} \cdot 40 \cdot t_1 \]

Тепер підставимо вираз для \(t_1\) через \(D\):

\[ t_2 = \frac{1}{160} \cdot 40 \cdot \frac{D}{40} \]

\[ t_2 = \frac{1}{4} \cdot \frac{D}{40} \]

\[ t_2 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{40} \cdot D \]

Тепер підставимо це значення \(t_2\) у вираз для середньої швидкості:

\[ \text{Середня швидкість} = \frac{90}{1 + \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{40} \cdot D}{\frac{1}{60} \cdot t}} \]

\[ \text{Середня швидкість} = \frac{90}{1 + \frac{3}{40} \cdot \frac{1}{t}} \]

Зараз вираз для середньої швидкості залежить від часу подорожі \(t\). Якщо вам дано значення часу, ви можете підставити його в цей вираз для знаходження середньої швидкості мотоцикліста.