Question

Терміново! Даю 20 балів Задача 6. Закон руху матеріальної точки має вигляд =27−^3, =32−8^2, =0 Побудувати траєкторію руху точки за перші 6 с. Визначити дотичне і нормальне прискорення та радіус кривизни траєкторії в момент часу 1=2c.

Answer 1

Ответ:

Для побудови траєкторії руху точки, нам потрібно спершу знайти функції координат x(t) і y(t), а потім побудувати графік.

Дані рівняння руху:

x(t) = 27 - t³

y(t) = 32 - 8t²

Побудуємо графік цих функцій для перших 6 секунд:

|

35 +

|

|

| *

25 + *

|

|

|

15 + *

|

5 + *

+------------------

0 2 4 6

Таким чином, траєкторія руху точки за перші 6 секунд має такий вигляд.

Тепер знайдемо дотичне і нормальне прискорення в момент часу t=2 секунди (якщо я правильно зрозумів, що t=1 відповідає часу 1 секунда, тобто t=2 відповідає 2 секундам).

Дотичне прискорення a_t можна знайти, взявши другу похідну від x(t) і y(t) по відношенню до t:

a_t = d²x(t)/dt² = -6t

a_t(2) = -6 * 2 = -12 м/с²

a_t = d²y(t)/dt² = -16

a_t(2) = -16 м/с²

Нормальне прискорення a_n можна знайти, використовуючи формулу:

a_n = v²/R

де v - швидкість, R - радіус кривизни.

Швидкість v можна знайти як похідну від руху по часу:

v = sqrt((dx/dt)² + (dy/dt)²)

Знайдемо швидкість в момент t=2 секунди:

v = sqrt((-3t²)² + (-16t)²)

v(2) = sqrt((-3*2²)² + (-16*2)²) = sqrt(144 + 256) = sqrt(400) = 20 м/с

Тепер можемо знайти нормальне прискорення:

a_n = v²/R

a_n(2) = (20 м/с)² / R

-12 м/с² = 400 м²/с² / R

R = 400 м²/с² / 12 м/с² = 33,33 м

Отже, радіус кривизни траєкторії в момент часу t=2 секунди дорівнює приблизно 33,33 метрам.

Answer 2

Задача вимагає обчислення траєкторії руху, дотичного і нормального прискорення, а також радіусу кривизни точки в момент часу t = 2 секунди. Спочатку ми обчислимо рівняння траєкторії, а потім визначимо похідні для знаходження прискорення та радіусу кривизни.

Задані рівняння для координат точки: x(t) = 27t^3 y(t) = 32t^2 z(t) = 0

Дотичне прискорення (a_t) може бути знайдено як друга похідна від координат по часу: a_t = d^2x/dt^2 = 6 * 27t = 162t

a_n = d^2y/dt^2 = 2 * 32 = 64

Зараз ми маємо значення дотичного (a_t) і нормального (a_n) прискорень.

Радіус кривизни (R) можна обчислити наступним чином:

R = (V^2) / |a_n|

Де V - вектор швидкості, і він обчислюється як похідна вектора позиції по часу:

V = (dx/dt, dy/dt, dz/dt) = (81t^2, 64t, 0)

Тепер обчислимо модуль швидкості V:

|V| = √((81t^2)^2 + (64t)^2 + 0) = √(6561t^4 + 4096t^2)

Радіус кривизни R тоді буде:

R = ((6561t^4 + 4096t^2) / 64) / 64 = (6561t^4 + 4096t^2) / 4096

Тепер ми можемо підставити значення t = 2 секунди, щоб знайти радіус кривизни в момент часу t = 2 с:

R = (6561*(2^4) + 4096*(2^2)) / 4096 = (656116 + 40964) / 4096 = (105696 + 16384) / 4096 = 122080 / 4096 = 30 метрів.

Отже, радіус кривизни траєкторії в момент часу t = 2 секунди дорівнює 30 метрам.

Загалом, траєкторія точки виглядає як: x(t) = 27t^3 y(t) = 32t^2 z(t) = 0

Дотичне прискорення: a_t = 162t

Нормальне прискорення: a_n = 64

Радіус кривизни в момент часу t = 2 с: R = 30 метрів.