Question

Обод массой m=2 кг и внешним радиусом R=5 см скатывается по наклонной плоскости длиной l=2 м и углом наклона α=30º. Определить его момент инерции относительно оси вращения, если скорость в конце наклонной плоскости v=3,3 м/с.

Answer 1

Перепад высот наклонной плоскости

$h = l\sin\alpha$

Закон сохранения энергии

$mgh = mv^2/2 + J\omega^2/2 = mv^2/2+Jv^2/(2R^2)\\J = m(2gh/v^2 - 1)R^2 \approx 0.004$

Answer 2

Для определения момента инерции обода относительно оси вращения, мы можем воспользоваться законом сохранения механической энергии. Момент инерции (I) связан с кинетической энергией вращательного движения следующим образом:

$E_{\text{вр}} = \frac{1}{2} I \omega^2$,

где $E_{\text{вр}}$ - кинетическая энергия вращательного движения, $I$ - момент инерции, и $\omega$ - угловая скорость.

Сначала определим угловую скорость обода. Мы знаем, что линейная скорость (v) связана с угловой скоростью следующим образом:

$v = R \cdot \omega$.

Где $R$ - радиус обода. Подставляя данное значение:

$3.3 \, \text{м/c} = 0.05 \, \text{м} \cdot \omega$.

Отсюда мы можем выразить угловую скорость $\omega$:

$\omega = \frac{3.3 \, \text{м/c}}{0.05 \, \text{м}} = 66 \, \text{рад/c}$.

Теперь, мы можем использовать закон сохранения механической энергии для вычисления момента инерции:

$E_{\text{вр}} = \frac{1}{2} I \omega^2$,

$E_{\text{вр}} = \frac{1}{2} I (66 \, \text{рад/c})^2$.

Теперь мы знаем, что кинетическая энергия вращательного движения равна кинетической энергии тела, которое движется со скоростью $v$ в конце наклонной плоскости:

$E_{\text{вр}} = \frac{1}{2} m v^2$.

Подставляем известные значения:

$\frac{1}{2} I (66 \, \text{рад/c})^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \, \text{кг} \cdot (3.3 \, \text{м/c})^2$.

Теперь можно решить уравнение относительно момента инерции $I$:

$I = \frac{2 \cdot (3.3 \, \text{м/c})^2}{(66 \, \text{рад/c})^2}$.

$I = \frac{2 \cdot 10.89 \, \text{м}^2/\text{c}^2}{4356 \, \text{рад}^2/\text{c}^2}$.

$I = \frac{21.78 \, \text{м}^2/\text{c}^2}{4356 \, \text{рад}^2/\text{c}^2}$.

$I = 0.004987 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2$.

Итак, момент инерции обода относительно оси вращения составляет приближенно 0.004987 кг·м².