Question

На якій висоті (в км) над поверхнею Землі прискорення вільного падіння в 16 разів менше, ніж на земній поверхні? Радіус Землі 6400 км.

Answer 1

Ускорение свободного падения на высоте h над поверхностью Земли:

                  $\displaystyle g=\frac{G\cdot M}{(R+h)^{2}}$

где G = 6,67·10⁻¹¹ H·м²/кг² - гравитационная постоянная

      М = 6·10²⁴ кг - масса Земли

      R = 6,4·10⁶ м - радиус Земли

      h - высота тела над поверхностью Земли, м

Так как g₁ = g/16, то:

       $\displaystyle h=\sqrt{\frac{16\cdot G\cdot M}{g}}-R=\sqrt{\frac{16\cdot6,67\cdot10^{-11}\cdot6\cdot10^{24}}{9,8}}-6,4\cdot10^{6}=\\\\\\{} \ \ =25,56\cdot10^{6}-6,4\cdot10^{6}=19,16\cdot10^{6} \ (m)\approx3R$          

Ответ: ускорение свободного падения уменьшится в 16 раз

           на высоте, равной трем радиусам Земли.

Answer 2

Прискорення вільного падіння на поверхні Землі дорівнює приблизно 9,8 м/с². Щоб знайти висоту, на якій це прискорення буде в 16 разів менше, ми можемо скористатися законом гравітації та формулою для прискорення вільного падіння на певній висоті.

Закон гравітації Ньютона визначає силу тяжіння F між двома тілами як: \[F = \frac{G * m1 * m2}{r^2},\] де: - F - сила тяжіння між тілами, - G - гравітаційна стала (приблизно 6,67430 * 10^-11 м^3/(кг*с^2)), - m1 та m2 - маси двох тіл, - r - відстань між цими тілами.

Прискорення вільного падіння на певній висоті h від поверхні Землі можна визначити, поділивши силу тяжіння на масу тіла, яке падає на цій висоті. З масою тіла m спрощується до: \[a(h) = \frac{G * M}{(R + h)^2},\] де: - a(h) - прискорення вільного падіння на висоті h, - G - гравітаційна стала, - M - маса Землі, - R - радіус Землі, - h - висота від поверхні Землі.

Ми хочемо, щоб прискорення на цій висоті було 16 разів менше, ніж на поверхні Землі, тобто: \[a(h) = \frac{1}{16} * 9.8\ м/с^2 = 0.6125\ м/с^2.\]

Підставимо це значення в рівняння для прискорення на висоті h: \[0.6125 = \frac{G * M}{(R + h)^2}.\]

Тепер ми можемо вирішити це рівняння для h: \[h = \sqrt{\frac{G * M}{0.6125}} - R.\]

Підставимо значення для G (гравітаційна стала), M (маса Землі), і R (радіус Землі), і розв'яжемо рівняння: \[h = \sqrt{\frac{6.67430 * 10^{-11}\ м^3/(кг*с^2) * 5.972 * 10^{24}\ кг}{0.6125\ м/с^2}} - 6,400\ км.\]

Обчислений h буде в кілометрах. Розв'яжемо рівняння: \[h = \sqrt{\frac{3.986004418 * 10^{14}\ м^3/с^2}{0.6125\ м/с^2}} - 6,400\ км\] \[h = \sqrt{6.50244110976 * 10^{14}}\ м - 6,400\ км\] \[h \approx 8079882\ м - 6,400\ км\] \[h \approx 2079882\ м\]

Таким чином, висота, на якій прискорення вільного падіння в 16 разів менше, ніж на земній поверхні, становить приблизно 2079 кілометрів.