Question

СРОЧНО!!!!! Шарик (радиус - r) скатывается по желобу (радиус - R). Желоб неподвижен, шарик скатывается без проскальзывания. Определить частоту  колебаний (ω - ?). (Считается, что первоначально шарик находился в равновесии, а потом его отводят на некоторое расстояние, после чего и возникают колебательные движения. Нужно определить частоту этих колебаний)Только подробнее, пожалуйста!

Answer 1

Смотри решение во вложении

Answer 2

Поднимаясь по желобу на высоту h шарик приобретает потенциальную энергию
W = mgh.

При малых смещениях можно считать, что амплитуда колебаний по дуге желоба l равна проекции этой дуги на горизонталь X0. Из прямоугольного треугольника, образованного радиусом желоба R, амплитуды горизонтального смещения X0  и проекции крайнего положения шарика на вертикаль (R-h) следует:
X0^2 + (R-h)^2 = R^2
Отсюда получим: X0^2 = 2*R*h - h^2
Учитывая, что при малых колебаниях h^2 << 2*R*h
X0^2 = 2*R*h

Таким образом, получаем выражение для h через амплитуду X0 при малых отклонениях от положения равновесия:
h = X0^2/2R

Потенциальная энергия, максимальная при крайнем положении шарика обретает вид:
W = m*g*X0^2/2R

Теперь получим значение максимальной кинетической энергии шарика (при прохождении положения равновесия). Она равна:
T = m*V0^2/2 + I*Omega^2/2
поскольку, коль шарик катится по жёлобу без проскалзывания, мы должны, помимо кин энергии поступательного движения шарика массы m, учитывать ещё и энергию вращения шарика с моментом инерции I и угловой скоростью вращения шарика вокруг его собственной оси Omega.

При этом максимальная линейная скорость шарика
V0 = Omega*r, где r = радиус шарика =>
Omega = V0/r

T = m*V0^2/2 + I*(V0/r)^2/2

Если шарик совершает гармонические колебания по закону
x(t) = X0*Sin(omega*t) то его скорость должна меняться по закону
v(t) = x'(t) = omega*X0*Cos(omega*t)

Таким образом, максимальная линейная скорость шарика (амплитуда скорости) равна
V0 = omega*X0, где omega - циклическая частота колебаний шарика.

Выражение для максимальной кинетической энергии шарика принимает вид:
T = m*(omega*X0)^2/2 + I*(omega*X0)^2/(2r^2).

Поскольку момент инерции шарика радиуса r и массы m равен
I = (2/5)mr^2, то

T = m*(omega*X0)^2/2 + (2/5)mr^2*(omega*X0)^2/(2r^2) = (7/10)m*(omega*X0)^2

В колебательной системе максимальное значение потенциальной энергии W равно максимальной величине кинетической энергии T.

(7/10)m*(omega*X0)^2 = m*g*X0^2/2R
отсюда, сокращая в обеих частях равенства m и X0 получаем:

(7/5)*omega^2 = g/R

и окончательно
omega^2 = (5/7)*(g/R)
и
omega = sqrt(5g/7R).

Частота такого "маятника" niu = omega/2Pi
niu = sqrt(5g/7R)/2Pi

Период T = 1/niu = 2Pi*sqrt(7R/5g)

Answer 3

Для определения частоты колебаний шарика (ω) в желобе с радиусами R и r, мы можем использовать законы механики и физику колебаний. В данной ситуации мы можем рассмотреть два основных аспекта: гравитацию и кинематику.

1. Гравитация: Шарик скатывается вниз по желобу под воздействием гравитационной силы. Эта сила будет создавать потенциальную энергию, которая будет преобразовываться в кинетическую энергию и обратно в потенциальную энергию при колебаниях.

2. Кинематика: Шарик будет двигаться вдоль желоба, и его скорость и ускорение будут меняться по мере движения. Для определения частоты колебаний, нам нужно найти период колебаний T и затем использовать формулу для частоты, где ω = 2π / T.

Давайте рассмотрим шаги для определения частоты колебаний шарика:

1. Определите потенциальную энергию: Первоначально, когда шарик находится в верхней точке желоба, его потенциальная энергия связана с высотой падения. Потенциальная энергия U можно выразить как m * g * h, где m - масса шарика, g - ускорение свободного падения (приближенно 9.81 м/с²), а h - высота.

2. Определите кинетическую энергию: В нижней точке желоба, когда шарик двигается со скоростью, его кинетическая энергия K связана с его скоростью. Кинетическая энергия K можно выразить как (1/2) * m * v^2, где m - масса шарика, а v - его скорость.

3. Используйте закон сохранения механической энергии: Закон сохранения механической энергии утверждает, что сумма потенциальной и кинетической энергии остается постоянной. Таким образом, при любой точке на желобе:

   U + K = постоянной.

4. Найдите скорость шарика: Из закона сохранения механической энергии, можно найти скорость шарика при любой точке на желобе.

5. Используйте уравнение движения для определения периода: Используя уравнение движения для шарика, можно определить период колебаний. Учитывая, что скатывание происходит без проскальзывания, можно использовать следующее уравнение движения:

   R * θ = r * φ,

   где R - радиус желоба, r - радиус шарика, θ - угол наклона желоба, а φ - угол поворота шарика.

6. Найдите период колебаний T: Период колебаний T можно найти, зная скорость шарика и уравнение движения. Это даст вам T = 2π * (R - r) / v.

7. Найдите частоту колебаний ω: Частоту колебаний можно найти, используя формулу ω = 2π / T, где T - период колебаний, найденный в предыдущем шаге.

Эти шаги позволят вам определить частоту колебаний шарика по желобу. Важно иметь значения массы шарика, радиусов R и r, угла наклона желоба (θ), и начального угла поворота шарика (φ).