Question

Лёгкая пружина длиной L с коэффициентом жёсткости k стоит вертикально на столе. С высоты h на неё падает небольшой шарик массой m. Чему равна максимальная скорость шарика Vmax?

Answer 1

Шар падает на пружину, 
до соприкосновения с пружиной скорость растет с ускорением g
далее появляется пружина 
нарастает сила упругости пружины
скорость перестает возрастать в момент когда сила тяжести равняется силе упругости пружины
скорость найдем в этой точке по закону сохранения энергии
остальное - во вложении
в решении принято что h - высота над столом

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, можно воспользоваться законом сохранения механической энергии. Когда шарик падает с высоты h, его потенциальная энергия преобразуется в кинетическую энергию и упругую потенциальную энергию пружины.

Потенциальная энергия шарика в начальный момент (когда он находится на высоте h) равна mgh, где m - масса шарика, g - ускорение свободного падения, h - высота.

Когда шарик достигнет максимального сжатия пружины, вся его потенциальная энергия будет преобразована в упругую потенциальную энергию пружины. Упругая потенциальная энергия пружины выражается формулой $\frac{1}{2} k x^2$, где k - коэффициент жесткости пружины, x - сжатие пружины.

Исходя из закона сохранения энергии, можно установить равенство:

$mgh = \frac{1}{2} k x^2$

Чтобы найти x (сжатие пружины), можно воспользоваться законом Гука для пружин: $F = kx$, где F - сила, действующая на пружину.

Сила, действующая на шарик, равна его весу: $F = mg$.

Таким образом, $mg = kx$, откуда можно выразить x:

$x = \frac{mg}{k}$

Теперь, чтобы найти максимальную скорость шарика $V_{\text{max}}$, можно воспользоваться уравнением кинетической энергии:

$\frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} k x^2$

Подставив выражение для x, получаем:

$\frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} k \left( \frac{mg}{k} \right)^2$

Упростим это уравнение и решим для v:

$v_{\text{max}} = \sqrt{\frac{mg}{m}} = \sqrt{g}$

Таким образом, максимальная скорость шарика равна корню из ускорения свободного падения (g).