Question

Небольшая шайба начинает соскальзывать с гладкой полусферы радиуса R, укрепленной на столе. Чему равен модуль V скорости шайбы непосредственно перед её падением на стол? ​

Answer 1

Ответ:

считаем, что трения нет, иначе говоря, энергия сохраняется.

Момент отрыва соответствует тому, что суммарное ускорение шайбы становится параллельным поверхности полусферы.

[Комментарий: рассказываю задачу через ускорения, что терминологически не совсем верно. По идее надо считать силы, но здесь все силы можно получить просто домножив на m.]

Будем записывать положение шайбы через радиус сферы и угол отклонения от начального положения alfa.

кинетическая энергия шайбы, скользящей по поверхности:

E=mv^2/2=m(u0)^2/2+Rgm(1-cos(alfa)), где R(1-cos(alfa)) - разница высот

квадрат скорости шайбы в той же точке поверхности:

v^2=(u0)^2+2Rg(1-cos(alfa))

компонента ускорения свободного падения g, направленная к поверхности сферы

g_|_=g*cos(alfa)

а ускорение за счёт центробежных сил (направлено от поверхности)

v^2/R

приравниваем

g*cos(alfa)=(u0)^2/R+2g(1-cos(alfa))

cos(alfa)=1/3g((u0)^2/R+2g)=(u0)^2/(3gR)+2/3

Если косинус меньше 1, тогда считаем h=Rcos(alfa). Иначе, скорость достаточна, чтобы шайба оторвалась от поверхности сразу же (высота равна R)

Answer 2

Для определения модуля скорости шайбы непосредственно перед её падением на стол, мы можем использовать законы сохранения энергии. По условию задачи шайба начинает соскальзывать с гладкой полусферы радиуса R. Это означает, что начальная скорость шайбы равна нулю.

Поскольку потенциальная энергия в данной задаче преобразуется в кинетическую энергию, мы можем записать закон сохранения энергии следующим образом:

Потенциальная энергия в начальный момент (перед падением) = Кинетическая энергия в конечный момент (перед падением).

Потенциальная энергия в начальный момент: Eнач = m * g * h, где m - масса шайбы, g - ускорение свободного падения (приближенно равно 9.81 м/с²), h - высота полусферы, с которой начинается скольжение.

Поскольку шайба начинает скользить с поверхности полусферы, h будет равно радиусу полусферы R.

Eнач = m * g * R.

Кинетическая энергия в конечный момент (перед падением): Eкон = (1/2) * m * V^2, где V - скорость шайбы перед падением.

Поскольку в начальный момент шайба покоилась, её кинетическая энергия была равна нулю.

Из закона сохранения энергии получаем:

m * g * R = (1/2) * m * V^2.

Сокращаем массу m:

g * R = (1/2) * V^2.

Теперь можем выразить V:

V = √(2 * g * R).

Подставим числовые значения:

V = √(2 * 9.81 м/с² * R).

Теперь, если вы укажете радиус R в метрах, вы сможете вычислить модуль скорости V в м/с.