Question

8. Тіло масою 5 кг здійснює гармонічні коливання з амплітудою 10 см. Максимальна кінетична енергія тіла, що коливається, дорівнює 2,5Дж. Визначте період коливань.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Дано: m (маса тіла, що коливається) = 5 кг;

А (амплітуда гармонійних коливань) = 10 см = 0,1 м;

Ekmax (максимальна кінетична енергія) = 2,5 Дж.

Щоб визначити період гармонійних коливань, скористаємося формулою:

Е (повна енергія) = Ekmax = m * A2 * ω2 / 2 = m * A2 * (2 * Π / T) 2 / 2 = 2 * m * A2 * Π2 / T2, звідки висловимо: T = √ (2 * m * A2? * Π2 / Ekmax).

Розрахунок: T = √(2 * 5 * 0,12 * 3,142 / 2,5) = 0,628 с.

Відповідь: Період гармонійних коливань заданого тіла становить 0,628 с.

Answer 2

Максимальна кінетична енергія тіла в гармонічних коливаннях дорівнює половині максимальної потенціальної енергії. Максимальна потенціальна енергія в гармонічних коливаннях залежить від амплітуди коливань і маси тіла. Формула для максимальної потенціальної енергії в гармонічних коливаннях така:

$E_{\text{пот}} = \frac{1}{2}kA^2,$

де:

• $E_{\text{пот}}$ - максимальна потенціальна енергія,
• $k$ - коефіцієнт жорсткості пружини,
• $A$ - амплітуда коливань.

Максимальна кінетична енергія дорівнює половині максимальної потенціальної енергії, тобто

$E_{\text{кін}} = \frac{1}{2}E_{\text{пот}} = \frac{1}{4}kA^2.$

Також максимальна кінетична енергія може бути виражена через масу $m$ та квадрат швидкості $v^2$ тіла:

$E_{\text{кін}} = \frac{1}{2}mv^2.$

Ми можемо виразити $v^2$ з цього рівняння:

$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{4}kA^2.$

Тепер ми можемо виразити квадрат швидкості $v^2$:

$v^2 = \frac{kA^2}{2m}.$

Тепер ми можемо виразити коефіцієнт жорсткості пружини $k$ з цього рівняння, оскільки відомо, що $k$ дорівнює множенню частоти коливань на квадрат маси $k = 4\pi^2f^2m$, де $f$ - частота коливань.

Підставимо це значення для $k$ в рівняння для квадрату швидкості $v^2$:

$\frac{4\pi^2f^2mA^2}{2m} = \frac{2\pi^2f^2mA^2}{m}.$

З цього рівняння можемо виділити $f^2$:

$\frac{2\pi^2f^2mA^2}{m} = \frac{2\pi^2f^2A^2}{1} = 2\pi^2f^2A^2.$

Тепер можемо виразити $f$ (частоту коливань):

$f = \frac{1}{2\pi A} \sqrt{\frac{E_{\text{кін}}}{m}}.$

Для знаходження періоду коливань $T$ використовуємо зв'язок між частотою і періодом $T = \frac{1}{f}$:

$T = \frac{1}{\frac{1}{2\pi A} \sqrt{\frac{E_{\text{кін}}}{m}}} = 2\pi A \sqrt{\frac{m}{E_{\text{кін}}}}.$

Тепер підставимо дані:

$T = 2\pi \cdot 0.1\, \text{м} \cdot \sqrt{\frac{5\, \text{кг}}{2.5\, \text{Дж}}} = 2\pi \cdot 0.1\, \text{м} \cdot \sqrt{2} \, \text{с} \approx 0.88\, \text{с}.$