Question

Во сколько раз период колебаний математического маятника на некоторой планете больше, чем на Земле, если радиус планеты вдвое меньше радиуса Земли, а плотности одинаковы?

Answer 1

Mg = m*M*G/R^2=m*ro*4/3*pi*R^3*G/R^2=m*ro*4/3*pi*R*G
g = ro*4/3*pi*R*G
g1 = ro*4/3*pi*R1*G
T=2*pi *корень( L/g )
T1=2*pi *корень( L/g1 )
T1/T=корень( g/g1 ) = корень( R/R1 ) =корень( R/ (R/2) ) = корень( 2 ) - это ответ

Answer 2

Период колебаний математического маятника зависит от длины маятника и ускорения свободного падения на планете. Формула для расчета периода колебаний математического маятника на разных планетах выглядит следующим образом:

T = 2π√(L/g),

где: T - период колебаний, L - длина маятника, g - ускорение свободного падения.

Мы знаем, что плотности на Земле и на данной планете одинаковы. Плотность можно представить как отношение массы (M) к объему (V):

ρ = M/V.

Из этого можно выразить массу:

M = ρ * V.

Для сравнения массы математического маятника на Земле (M1) и на данной планете (M2) можно записать следующее:

M1 = ρ * V1, M2 = ρ * V2.

Так как плотности одинаковы, то:

M1/M2 = (ρ * V1) / (ρ * V2) = V1/V2.

Далее, мы знаем, что ускорение свободного падения (g) зависит от массы планеты (M) и радиуса планеты (R) следующим образом:

g = G * (M / R^2),

где G - гравитационная постоянная.

Сравним ускорение свободного падения на Земле (g1) и на данной планете (g2):

g1 = G * (M1 / R1^2), g2 = G * (M2 / R2^2).

Теперь давайте сравним периоды колебаний на Земле (T1) и на данной планете (T2):

T1 = 2π√(L / g1), T2 = 2π√(L / g2).

Теперь мы можем выразить отношение периодов T1/T2:

T1/T2 = (2π√(L / g1)) / (2π√(L / g2)).

2π и L отменяются:

T1/T2 = √(g2 / g1).

Теперь мы можем выразить g2/g1 через радиусы R1 и R2:

g2/g1 = (G * (M2 / R2^2)) / (G * (M1 / R1^2)) = (M2 / M1) * (R1^2 / R2^2).

Мы уже выразили M2/M1 как V1/V2, поэтому:

T1/T2 = (V1/V2) * (R1^2 / R2^2).

Мы знаем, что радиус планеты вдвое меньше радиуса Земли (R2 = 0.5 * R1), поэтому:

T1/T2 = (V1/V2) * (R1^2 / (0.5 * R1)^2) = (V1/V2) * (R1^2 / (0.25 * R1^2)).

R1^2 и 0.25 * R1^2 сокращаются:

T1/T2 = (V1/V2) * 4.

Так как плотности одинаковы и V1/V2 = M1/M2, то:

T1/T2 = M1/M2 * 4.

Из этого следует, что период колебаний математического маятника на данной планете в 4 раза больше, чем на Земле.