Question

0. Космический корабль перед отделением последней ступени ракеты- носителя имел скорость v. После отбрасывания последней ступени его скорость стала равной 1, 01 v, при этом отделившаяся ступень удаляется относительно корабля со скоростью 0, 04 v. Какова масса последней ступени, если масса кораб- ля m0?

Answer 1

По закону сохранения импульса составим уравнение: 
   (m₀ + mₓ)· υ = m₀ · 1,01υ + mₓ · 0,97υ
  m₀ · υ + mₓ· υ = m₀ · 1,01υ + mₓ · 0,97υ
m₀ · υ + mₓ· υ - m₀ · 1,01υ - mₓ · 0,97υ = 0
             -0,01m₀ · υ - 0,03mₓ · υ = 0
               υ · (-0,01m₀ + 0,03mₓ) = 0
υ = 0;          -0,01m₀ + 0,03mₓ = 0
                     0,03mₓ = 0,01m₀
           mₓ = 0,33m₀ или  mₓ = m₀/3

p.s. cкажете откуда взял 0,97υ? да и ещё со знаком "+"?      
Для тех кто на бронепоезде: - Хорошо понятое условие задачи, на половину решённая задача!)
Читаем условие: "После отбрасывания последней ступени его скорость
стала равной 1, 01 v, при этом отделившаяся ступень удаляется относительно корабля со скоростью 0, 04 v. Делаем акцент на слово "относительно": 
Скорость с которой фактически движется последняя отделившаяся ступень будет: 
      0,04·υ - 1,01·υ = - 0,97·υ - дальше математика!

Answer 2

Давайте рассмотрим данный вопрос, используя законы сохранения импульса и энергии.

1. Закон сохранения импульса: Импульс системы (корабль + последняя ступень) до отделения последней ступени должен быть равен импульсу системы после отделения. Пусть масса последней ступени будет $m$ (мы ищем её), масса корабля $m_0$, скорость корабля перед отделением ступени $v$, а скорость последней ступени относительно корабля $0.04v$. Также после отделения скорость корабля стала $1.01v$.

Импульс до: $p_{\text{до}} = (m + m_0) \cdot v$ Импульс после: $p_{\text{после}} = m \cdot (1.01v) + m_0 \cdot 0$ (так как последняя ступень движется относительно корабля).

Из закона сохранения импульса следует: $p_{\text{до}} = p_{\text{после}}$, $(m + m_0) \cdot v = m \cdot (1.01v)$.

2. Закон сохранения энергии: Кинетическая энергия системы до отделения ступени должна быть равной кинетической энергии системы после отделения.

Кинетическая энергия до: $E_{\text{до}} = \frac{1}{2} (m + m_0) v^2$ Кинетическая энергия после: $E_{\text{после}} = \frac{1}{2} m (1.01v)^2 + \frac{1}{2} m_0 (0.04v)^2$.

Из закона сохранения энергии следует: $E_{\text{до}} = E_{\text{после}}$, $\frac{1}{2} (m + m_0) v^2 = \frac{1}{2} m (1.01v)^2 + \frac{1}{2} m_0 (0.04v)^2$.

Теперь мы имеем систему уравнений:

1. $v \cdot (m + m_0) = 1.01v \cdot m$,
2. $\frac{1}{2} (m + m_0) v^2 = \frac{1}{2} m (1.01v)^2 + \frac{1}{2} m_0 (0.04v)^2$.

Сокращая $v$ из первого уравнения и упрощая второе уравнение, получаем:

1. $m + m_0 = 1.01m$,
2. $m + m_0 = 0.0017m + 0.04^2 m_0$.

Подставляем значение $m + m_0$ из первого уравнения во второе: $1.01m = 0.0017m + 0.04^2 m_0$.

Теперь можно решить это уравнение относительно $m_0$: $0.0017m + 0.04^2 m_0 = 0.01m$, $0.04^2 m_0 = 0.0083m$, $m_0 = \frac{0.0083m}{0.04^2}$, $m_0 = \frac{0.0083m}{0.0016}$, $m_0 = 5.1875m$.

Таким образом, масса последней ступени $m_0$ составляет примерно $5.1875$ раз массу корабля $m$ 0 0