Question

Два шарика, массы которых 30 г и 15 г, движутся с одинаковой скоростью 3 м/с навстречу друг другу. С какими скоростями они разлетятся после абсолютно упрогого центрального удара

Answer 1

Дано:

m1 = 30 г = 0,030 кг

m2 = 15 г = 0,015 кг

V1 = 3 м/с

V2 = - 3 м/с (движется навстречу первому)

______________

U1 - ?

U2 = ?

По формулам центрального упругого удара шаров::

U1 = (V1*(m1-m2)+2*m2*V2) / ) / (m1+m2) =

= (3*(0,030-0,015)+2*0,015*(-3)) / (0,030+0,015) = -1 м/с

U2 = (V2*(m2-m1)+2*m1*V1) / ) / (m1+m2) =

= (-3*(0,015-0,030)+2*0,030*3) / (0,030+0,015) = 5 м/с

Answer 2

Пусть m₁, υ₀₁ и υ₁ - масса, начальная скорость и конечная скорость первого шарика соответственно. Тогда m₂, υ₀₂ и υ₂ - масса, начальная скорость и конечная скорость второго шарика соответственно.

Дано: m₁ = 30 г = 0,03 кг; m₂ = 15 г = 0,015 кг; υ₀₁ = υ₀₂ = υ₀ = 3 м/с.

Найти: υ₁ - ? υ₂ - ?

Решение. Если два шарика сталкиваются друг с другом, после чего движутся в противоположные направления, то такое взаимодействие называют абсолютно упругим ударом - столкновение.

Если два два шарика движутся навстречу друг другу, то во время упругого удара сохраняется суммарный импульс: -m₁υ₀ + m₂υ₀ = m₁υ₁ - m₂υ₂ и суммарная кинетическая энергия тел: m₁υ₀²/2 + m₂υ₀²/2 = m₁υ₁²/2 + m₂υ₂²/2 = m₁υ₀² + m₂υ₀² = m₁υ₁² + m₂υ₂².

Решим систему:

| -m₁υ₀ + m₂υ₀ = m₁υ₁ - m₂υ₂

| m₁υ₀² + m₂υ₀² = m₁υ₁² + m₂υ₂².

| -0,09 + 0,045 = 0,03υ₁ - 0,015υ₂

| 0,27 + 0,135 = 0,03υ₁² + 0,015υ₂²

| -0,045 = 0,03υ₁ - 0,015υ₂ |×1000

| 0,405 = 0,03υ₁² + 0,015υ₂²

| -45 = 30υ₁ - 15υ₂ |:15

| 0,405 = 0,03((υ₂ - 3)/2)² + 0,015υ₂²

| -3 = 2υ₁ - υ₂ 

| 0,405 = 0,03((υ₂ - 3)/2)² + 0,015υ₂²

| υ₁ = (υ₂ - 3)/2

| 0,405 = 0,03((υ₂ - 3)/2)² + 0,015υ₂²

0,405 = 0,03((υ₂ - 3)/2)² + 0,015υ₂²

0,405 = 0,03(υ₂ - 3)²/4 + 0,015υ₂²

0,405 = 0,03(υ₂² - 6υ₂ + 9)/4 + 0,015υ₂²

0,405 = (0,03υ₂² - 0,18υ₂ + 0,27)/4 + 0,015υ₂² |×4

1,62 = 0,03υ₂² - 0,18υ₂ + 0,27 + 0,06υ₂²

0,09υ₂² - 0,18υ₂ - 1,35 = 0 |×100

9υ₂² - 18υ₂ - 135 = 0 |:9

υ₂² - 2υ₂ - 15 = 0 |:9

D = (-2)² - 4 × 1 × (-15) = 4 + 60 = 64

υ₂ = (-(-2) + √64)/2×1 = (2 + 8)/2 = 5 м/с

υ₂ = (-(-2) - √64)/2×1 = (2 - 8)/2 = -3 м/с (не удов. усл. задачи)

υ₁ = (υ₂ - 3)/2 = (5 - 3)/2 = 2/2 = 1 м/с

Ответ: υ₁ = 1 м/с; υ₂ = 5 м/с.

Answer 3

После абсолютно упругого центрального удара сохраняется закон сохранения импульса и энергии. Импульс - это произведение массы на скорость, а энергия - это произведение массы на квадрат скорости, деленное на 2 (кинетическая энергия).

Исходно имеем движение встречных шариков с одинаковой скоростью:

• Масса первого шарика (m1) = 30 г = 0.03 кг

• Скорость первого шарика (v1) = 3 м/с

• Масса второго шарика (m2) = 15 г = 0.015 кг

• Скорость второго шарика (v2) = -3 м/с (обратная направлению первого шарика)

Сумма импульсов до столкновения равна нулю: m1 * v1 + m2 * v2 = 0

(0.03 кг) * (3 м/с) + (0.015 кг) * (-3 м/с) = 0 0.09 - 0.045 = 0.045

Теперь, с учетом закона сохранения энергии, можно выразить скорости после столкновения:

0.5 * m1 * v1^2 + 0.5 * m2 * v2^2 = 0.5 * m1 * v1_new^2 + 0.5 * m2 * v2_new^2

где v1_new и v2_new - скорости первого и второго шариков после столкновения.

0.5 * (0.03 кг) * (3 м/с)^2 + 0.5 * (0.015 кг) * (-3 м/с)^2 = 0.5 * (0.03 кг) * (v1_new)^2 + 0.5 * (0.015 кг) * (v2_new)^2

0.135 = 0.015 * (v1_new)^2 + 0.135 * (v2_new)^2

Так как масса второго шарика в 2 раза меньше массы первого, то после столкновения его скорость в 2 раза больше скорости первого шарика:

v2_new = 2 * v1_new

Подставляя это в уравнение, получим:

0.135 = 0.015 * (v1_new)^2 + 0.135 * (2 * v1_new)^2

0.135 = 0.015 * (v1_new)^2 + 0.54 * (v1_new)^2

0.135 = 0.555 * (v1_new)^2

(v1_new)^2 = 0.135 / 0.555

v1_new = √(0.243)

v1_new ≈ 0.493 м/с

Так как второй шарик отскакивает с удвоенной скоростью первого, то его скорость после столкновения:

v2_new = 2 * v1_new ≈ 2 * 0.493 м/с ≈ 0.986 м/с

Таким образом, первый шарик будет двигаться с новой скоростью примерно 0.493 м/с, а второй шарик - примерно 0.986 м/с.