Question

Помогите с задачей! Известно, что тонкая алюминиевая проволока, если её натереть жиром, может плавать на поверхности воды. Какой может быть максимальный диаметр (в миллиметрах) сечения этой проволоки? Считайте, что g = 10 м/с². Проволока достаточно длинная и удерживается на поверхности жидкости только силой поверхностного натяжения.

Answer 1

Дано:

$g = 10 \frac{M}{c^{2}}$

$\rho_{a} = 2700 \frac{{K\varGamma}}{{M^{3}}}$

$\sigma_{_{B}} = 0,073 \frac{H}{{M}}$

==========================

Найти: $D - ?$

==========================

Решение. Если проволока держится на поверхности воды, то это означает, что силу тяжести, которая действует на неё, компенсирует сила поверхностного натяжения, которая действует на проволоку со стороны воды $F_{T} = mg = \rho_{a}gV$ . Следует учесть, что объём, который образует проволока в виде цилиндра, равен $V = \pi R^{2}L = \frac{\pi D^{2}L}{4}$ . Следовательно, сила тяжести равна $F_{T} = \frac{\rho_{a}g\pi D^{2}L}{4}$ .

Силу поверхностного натяжения можно вычислить по формуле $F_{\varPi OB} = 2\sigma_{_{B}} L$ . Следует учесть, что вода касается проволоки с двух сторон. Толщиной проволоки в формуле для силы поверхностного натяжения пренебрегаем.

С равенства сторон получаем:

$\frac{\rho_{a}g\pi D^{2}L}{4} = 2\sigma_{_{B}} L \Rightarrow \boxed {D = \sqrt{\frac{8\sigma_{_{B}}}{\pi \rho_{a}g}}}$

Определим значение искомой величины:

$[D] = \frac{H\cdotp {M^{3}} \cdotp c^{2}}{{M\cdotp K\varGamma \cdotp M}} = \frac{K\varGamma \cdotp M \cdotp c^{2}}{K\varGamma \cdotp c^{2}} = M$

$D = \sqrt{\frac{8\cdotp 0,073}{3,14 \cdotp 2700 \cdotp 10}} \thickapprox 0,0026 _{M} = 2,6 _{MM}$

Ответ: $D \thickapprox 2,6 _{MM}$

Answer 2

Для того чтобы проволока плавала на поверхности воды, необходимо, чтобы сила поверхностного натяжения жидкости уравновешивала её вес. Допустим, проволока имеет круглое сечение. Тогда, если её диаметр равен D, радиус будет равен R = D/2.

Сила поверхностного натяжения, действующая на окружность проволоки, определяется следующей формулой:

F_surface = 2πR * γ,

где γ - коэффициент поверхностного натяжения.

Сила, действующая на проволоку из-за её веса, равна:

F_weight = m * g,

где m - масса проволоки, а g - ускорение свободного падения (g = 10 м/с²).

Массу проволоки можно выразить через её плотность (ρ) и объем (V):

m = ρ * V.

Для круглого сечения проволоки объем вычисляется по формуле:

V = π * R² * L,

где L - длина проволоки.

Теперь мы можем уравнять эти две силы, чтобы найти максимальный диаметр проволоки:

2πR * γ = ρ * π * R² * L * g.

Отсюда, диаметр D:

D = √(2 * γ * L / (ρ * g)).

Выразим численные значения для решения:

Допустим, у нас есть проволока длиной L = 1 м (или 1000 мм) и коэффициент поверхностного натяжения воды γ ≈ 0.073 Н/м (это значение приближенное и зависит от температуры). Для алюминиевой проволоки плотность составляет примерно ρ ≈ 2700 кг/м³.

Теперь подставим значения в формулу:

D = √(2 * 0.073 Н/м * 1000 мм / (2700 кг/м³ * 10 м/с²)) ≈ 0.68 мм.

Таким образом, максимальный диаметр алюминиевой проволоки с круглым сечением, которая может плавать на поверхности воды, составляет около 0.68 миллиметра.